rang(A)=rang(A^T*A)

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DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »
rang(A)=rang(A^T*A)
Meine Frage:
Hallo an alle,
wie kann ich beweisen, dass rang(A)=rang(A^T*A)?
Ich stehe da gerade echt auf dem Schlauch.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen -.-
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RE: rang(A)=rang(A^T*A)
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DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Das zeigt man so:



Und wie schlussfolgere ich das jetzt für den Rang?
DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich nicht editieren kann:


Zeige
Sei . Dann gilt

Zeige
Sei . Dann gilt


Edit: Irgendwie wird der LaTeX-Code nicht gerendert, lol. Klappt in TeXmaker aber wunderbar:


kgV: Im matheboard funktioniert die $-Umgebung nicht wie im Texmaker. Nur das, was zwischen Latex-Tags liegt, wird als Formel interpretiert, d.h. der latex-Tag ersetzt die Dollars

Hab das mal im obigen Beitrag gefixt
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Mit dem Rangsatz
DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das mal eben hinschreiben? Und bitte ohne lineare Abbildungen ins Spiel zu bringen. Ich will rein auf Matrizenebene bleiben.
Da A im Allgemeinen nicht quadratisch ist, weiß ich nicht, was die Dimension einer Matrix sein soll.

Ich finde im Netz auch nur so Sachen wie dim(A)=dim(Kern(A))+Rang(A)
.
Da ich weiß, dass Kern(A)=Kern(A^T*A) weiß ich auch dim(Kern(A))=dim(Kern(A^T*A)).

Jetzt fehlt mir nur noch dim(A)=dim(A^T*A). Kann mir jemand das letzte Puzzleteil verraten bitte?
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Zitat:
dim(A)=dim(Kern(A))+Rang(A)

kann ich mir nicht vorstellen. Wohl eher sowas wie , wenn A eine Matrix ist
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Matrix über mit und .
Es wird euch also nicht gelingen, die Aussage zu beweisen.
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Ah, ja, das kann gut sein. Danke für den Hinweis Elvis.
Man muss aus auf schließen können, sonst klappt der Beweis nicht.
DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Den Satz habe ich in der Form beim googlen nicht gefunden.

Hast du eine Onlinequelle zum Nachlesen? Das würde ich mir gern genauer ansehen.
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wikipedia ist bei mir der erste Treffer verwirrt
DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
wikipedia ist bei mir der erste Treffer verwirrt


Sicher, aber da geht es vor allem um lineare Abbildungen. Die wollte ich aber bewusst nicht ins Spiel bringen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen Beitrag nicht gelesen ? Deine Aussage ist falsch, du kannst sie nicht beweisen, egal wie.
DarkMath Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, es geht mir um reelle Matrizen, das habe ich nur vergessen zu erwähnen, sry.
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Hier ist eine Stelle, an der dim(A) definiert ist
Zitat:
\(\text{dim}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{img}(A))\) Er besagt, dass die Anzahl der Spalten der Matrix \(A\) (= Dimension der Definitionsmenge)

aber ker(A) und img(A) ergeben doch mehr Sinn, wenn man A als lineare Abbildung versteht. Insofern verstehe ich nicht, warum du das partout vermeiden willst.

Edit: Du kannst es auch direkt zeigen: Nimm eine Basis von Im(A) und zeige, dass linear unabhängig sind. Also ist
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