Folgen – Definitionschaos (Monotonie und Konvergenz)

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h4nk Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen – Definitionschaos (Monotonie und Konvergenz)
Hallo Leute, leider habe ich ein Problem damit, mir über die Konvergenz und die Montonie von Folgen im Klaren zu werden.

Uns wurde folgende Kriterien zur Überprüfung von Monotonie genannt:

1. Differenzkriterium



2. Quotientenkriterium



(es soll bei beiden größer/-kleinerGLEICH heißen)


Konvergenz sollte bedeuten, dass ein Grenzwert exisiert. Soweit so gut. Jetzt habe ich mir allerdings andere Quellen angeguckt und dort ist sehr oft (unteranderem) vom Quotientenkriterium zum Prüfen auf Konvergenz die Rede.

Das Quotientenkriterium ist anscheinend das selbe wie das zur Prüfung von Monotonie..




Jetzt bin ich verwirrt und bin mir unsicher, wie ich Konvergenz nachweisen kann.

Was ich kann, ist das Bestimmen des Grenzwerts (dazu Teile ich durch den Ausdruck mit der höchsten Potenz und lasse n gegen unendlich laufen).


Danke schonmal!
asdf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meinst du dieses Quotientenkriterium:
Wenn , dann konvergiert absolut.

Dies gilt jedoch nur für Reihen und nicht für gewöhnliche Folgen.
h4nk Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das habe ich wohl verwechselt.

Für Folgen bestimme ich also den Grenzwert. Sollte dieser unendlich sein, also uneigentlich, ist die Folge divergent. Falls ein Grenzwert existiert ist sie konvergent. Das wars?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst natürlich auch von der Konvergenz der Reihe auch auf die Konvergenz der Folge (a_k) schließen. Diese ist dann eine Nullfolge.

Im Übrigen ist es bei Folgen unter Umständen leichter, lediglich die Konvergenz zu zeigen, ohne explizit einen Grenzwert anzugeben. Beispielsweise ist es relativ einfach, die Konvergenz der Folge zu zeigen. Daß der Grenzwert dann gleich der Zahl e ist (dazu müßte e überhaupt erst definiert sein), ist dann der nächste Schritt. smile
h4nk Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Wie kann ich denn die Konvergenz einer Folge zeigen, ohne ihren Grenzwert zu bestimmen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Beispiel der Folge wäre die Idee, die steigende Monotonie und die obere Beschränktheit zu zeigen. Eine derartige Folge ist dann konvergent. Augenzwinkern
 
 
h4nk Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das gilt ja nicht für alle Folgen? Nur weil eine Folge monoton ist und eine obere Beschränkung hat, ist sie ja nicht automatisch konvergent, da der Grenzwert ja auch unendlich sein könnte. Also ein uneigentlicher Grenzwert und damit wäre sie divergent.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von h4nk
Aber das gilt ja nicht für alle Folgen? Nur weil eine Folge monoton ist und eine obere Beschränkung hat, ist sie ja nicht automatisch konvergent, da der Grenzwert ja auch unendlich sein könnte.

Du bist also der Meinung, dass beides zugleich bei einer Folge passieren kann? Bitte nenn mal ein Beispiel! Augenzwinkern
h4nk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du bist also der Meinung, dass beides zugleich bei einer Folge passieren kann? Bitte nenn mal ein Beispiel! Augenzwinkern


Falsch ausgedrückt. Ich meine natürlich Minus-Unendlich.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, du hast klarsoweit ja auch nur unzureichend zitiert - er hat von "steigender" Monotonie gesprochen. Bei einer monoton steigende Folge sind alle Folgenglieder mindestens so groß wie das Startglied, daher sind solche Folgen automatisch nach unten beschränkt und können somit unmöglich gegen divergieren. unglücklich

Bei monoton fallenden Folgen hättest du natürlich Recht, aber darum geht es hier nicht.
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