Wurzelkriterium vs. Quotientenkriterium

18.04.2017, 16:35

Sito

Wurzelkriterium vs. Quotientenkriterium

Guten Tag zusammen,

ich habe eine kurze Frage bzgl. folgender Reihe: $\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!} \end{align*}$ .

Ich habe einmal mit dem Quotientenkriterium angefangen und komme nun auf: $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|= \lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n+1)^n}{2n^n(2n+1)}=0<1 \end{align*}$ somit konvergiert die Reihe.

Nun gibt es ja soweit ich weiss noch den Satz von Cauchy-d'Alembert nach welchem ich das gleiche Resultat auch mit dem Wurzelkriterium erhalten sollte. Leider will das nicht so recht funktionieren.
Meine Rechnung soweit: $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{(2n)!}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(2n)!}} \end{align*}$
Und hier komme ich nicht wirklich weiter.

Wäre für ein paar Tipps dankbar.
Gruss Sito

18.04.2017, 16:55

IfindU

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RE: Wurzelkriterium vs. Quotientenkriterium
Du hast $\begin{eqnarray*} (2n)! = \prod_{k=2}^{2n} k \geq \prod_{k=2}^{2n} 2 = 2^{2n-1} \end{eqnarray*}$ als einfache Abschätzung. Generell vermeidet man aber bei Fakultäten das Wurzelkriterium, weil man im Worst case mit Stirlingsformel arbeiten muss.

18.04.2017, 17:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Du hast $\begin{eqnarray*} (2n)! = \prod_{k=2}^{2n} k \geq \prod_{k=2}^{2n} 2 = 2^{2n-1} \end{eqnarray*}$ als einfache Abschätzung.

Reicht aber leider nicht für das, was Sito hier benötigt. Augenzwinkern

Statt Stirling genügt aber auch was etwas einfacheres, z.B. das durch Induktion nachweisbare $\begin{align*} m!\geq \frac{m^m}{e^{m-1}} \end{align*}$ , gültig für alle $\begin{align*} m\geq 1 \end{align*}$ .

18.04.2017, 17:14

Sito

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Zuerst mal Danke an euch beide für die Tipps.

Ich habe es jetzt mal mit HAL's Formel versucht und komme auf: $\begin{align*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(2n)!}} \ge \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{\frac{(2n)^{2n}}{e^{2n-1}}}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\frac{(2n)^2}{e^{2-(1/n)}}}= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n e^{2}}{4n^2}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{e^2}{4n}=0 \end{align*}$ .

Ich hoffe mal das funktioniert so.

18.04.2017, 17:15

IfindU

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Danke HAL. Ich dachte $\begin{eqnarray*} 2^{2n} \end{eqnarray*}$ sieht ausreichend aus, aber ist natürlich Quatsch Forum Kloppe

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