Beweis Exponentialreihe

19.04.2017, 16:08

memuench2302

Beweis Exponentialreihe

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe Probleme beim weiterführen eines Beweises. Was beweist werden soll seht ihr im Anhang. Ich wollte das ganze mithilfe eines direkten Beweises beweisen, bin jedoch hängen geblieben

Meine Ideen:
Laut Skript gilt für exp(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{q=0}^{\infty } \frac{x^{q}}{q!} \end{eqnarray*}$

D.H eingesetzt heißt unsere Formel also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{q}}{q!} : x^{q} > \frac{x}{(q+1)!} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun dividiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{q}}{q!} : \frac{x^{q}}{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{q}}{q!} * \frac{1}{x^{q}} \end{eqnarray*}$

erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{q}}{q!*x^{q}} \end{eqnarray*}$

Das kann man kürzen zu:

q! > $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(q+1)!} \end{eqnarray*}$

War es das nun schon? q! ist ja im Grunde größer als ein Bruch jedoch wächst x stetig. Kann mir jemand helfen meinen Fehler zu finden?

Edit: Ich habe grad gesehen, dass q! im 1. Teil der Ungleichung ja eigentlich laut Skriptdefinition eine eigene Laufvariable besitzt. Also steigt der 1. Teil der Ungleichung auch stetig. Die Ernennung der Laufvariable zu q war nicht sondernlich schlau und werde ich abändern.

Nach der Umbenennung der Laufvariable zu z.B. k hat man nun jedoch das Problem nicht wegkürzen zu können.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{k}}{k! * x^{q}} \end{eqnarray*}$

19.04.2017, 17:06

HAL 9000

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Du siehst die Sache viel zu kompliziert. $\begin{align*} \exp(x) = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{x^q}{q!} \end{align*}$ enthält im Fall $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ sämtlich positive Reihenglieder, ist also größer als jedes einzelne Reihenglied, d.h.

$\begin{align*} \exp(x) > \frac{x^k}{k!} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\in\mathbb{N} \end{align*}$ .

Und jetzt betrachte diese letzte Ungleichung mal speziell für $\begin{align*} k=q+1 \end{align*}$ .

19.04.2017, 17:16

memuench2302

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Unnötiges Komplettzitat entfernt. Steffen

Ist mit dem q nun das fixe q aus der Aufgabenbeschreibung gemeint ?
Was sagt das aber nun aus, dass exp(x) > x^k / k! ?

Wenn ich nun k = q+1 einsetze, kommt
exp(x) > x^q+1 / (q+1)! heraus.
Leider hänge ich hier schon wieder. Da der Nenner gleich der anfänglichen Ungleichung ist, wird man das umstellen können.

Danke schonmal für jede Hilfe

19.04.2017, 17:21

HAL 9000

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Du willst damit sagen, dass du nicht in der Lage bist, die Ungleichung $\begin{align*} \exp(x) > \frac{x^{q+1}}{(q+1)!} \end{align*}$ zur Behauptung $\begin{align*} \frac{\exp(x)}{x^q} > \frac{x}{(q+1)!} \end{align*}$ umzustellen? Wie wäre es denn mit Division durch $\begin{align*} x^q \end{align*}$ ?

19.04.2017, 17:28

memuench2302

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Unnötiges Komplettzitat entfernt. Steffen

Doch stimmt, tut mir leid, mein Gehirn ist so langsam Matsch. Ich verstehe jedoch immer noch nicht die anfängliche Behauptung dass exp(x) > x^k/k!. Exp(x) IST doch x^k / k! Oder sehe ich das falsch?

19.04.2017, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von memuench2302
Ich verstehe jedoch immer noch nicht die anfängliche Behauptung dass exp(x) > x^k/k!. Exp(x) IST doch x^k / k! Oder sehe ich das falsch?

Das siehst du falsch. Es ist $\begin{align*} \exp(x) = ~{\color{red}\sum_{k=0}^{\infty}}~ \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \ldots \end{align*}$ . Du hast also nicht nur das Summenzeichen ignoriert, sondern auch meinen diesbezüglichen Begleittext

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \exp(x) = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{x^q}{q!} \end{align*}$ enthält im Fall $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ sämtlich positive Reihenglieder, ist also größer als jedes einzelne Reihenglied

Wirklich schade. unglücklich

19.04.2017, 17:55

memuench2302

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Unnötiges Komplettzitat entfernt. Steffen

Achso ja weil man das Ergebnis der Summe betrachtet. Verstanden danke smile

Kann man in der Beweisführung für k dann q + 1 einfach so einsetzen? Ist ja im Grunde beides eine Variable aber ich frag mich ob das von der Beweisstrultur einfach so geht

19.04.2017, 19:10

HAL 9000

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Ist k=q+1 eine natürliche Zahl, wenn gegeben ist, dass q eine ist? Ja! Und was hab ich hier geschrieben:

Zitat:

Original von HAL 9000
d.h.

$\begin{align*} \exp(x) > \frac{x^k}{k!} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\in\mathbb{N} \end{align*}$ .

Und jetzt betrachte diese letzte Ungleichung mal speziell für $\begin{align*} k=q+1 \end{align*}$ .

Ich finde, du könntest dich mal ein bisschen mehr anstrengen und das geschriebene durchdenken. Ist wirklich nervtötend, wenn man jedes klitzekleine Argument zehnmal wiederholen muss, nur weil du immer nur einen Halbsatz liest.

19.04.2017, 19:38

memuench2302

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Unnötiges Komplettzitat entfernt. Steffen

Ich habe mir durchaus alles durchgelesen aber ich frag lieber 2x mal nach. Ich habe hier schon öfters Fragen gestellt und eben gegebene Tipps für die Übung verwendet UND Punktabzug bekommen.
Wie sehr ich dir und auch andere danke für die Hilfe hier, müssen viele hier mal verstehen, dass die Leute, die hier Fragen stellen, deswegen Fragen stellen weil diese nicht so Matheprofis sind wie andere hier. Da wird halt auch mal 1-2 mal mehr gefragt. Und wenn das nun mal schon nervtötend ist, sollte man sich doch mal überlegen vielleicht ein wenig Abstand von dem Forum hier zu nehmen smile

dennoch danke, hat sehr geholfen.

19.04.2017, 19:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von memuench2302
sollte man sich doch mal überlegen vielleicht ein wenig Abstand von dem Forum hier zu nehmen

Abstand zu uneinsichtigen Leuten wie dir wäre sicher eine Option. Leider weiß man das bei "neuen" Leuten ja nicht vorher.

19.04.2017, 20:09

memuench2302

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Unnötiges Komplettzitat entfernt. Steffen

Kein Grund gleich beleidigend zu werden, ich habe lediglich angemerkt, dass Nachfragen in einem Mathehilfsforum kein Verbrechen sein sollte smile

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