Basis eines orthogonalen Untervektorraums bestimmen [War: Vlendgg]

19.04.2017, 17:40	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines orthogonalen Untervektorraums bestimmen [War: Vlendgg] Es sei $\begin{eqnarray} V:=\mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen und sei U der von den Vektoren (2,1,0,3), (4,2,1,-1), (1,0,2,-13) erzeugte untervektorraum von V. Bestimmen Sie eine Basis des zu U orthogonalen Untervektorraums $\begin{eqnarray} U^{\perp} = \left\{ v\in V \| v \perp u \forall u\in U\right\}. \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Es muss ja gelten: < (2,1,0,3), u> = <(4,2,1,-1), u> = <(1,0,2,-13), u> = 0. Das bringt mir das LGS: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2u_{1} + u_{2} + 3u_{4} = 0 \\ 4u_{1} + 2u_{2} + u_{3} - u_{4} = 0\\ u_{1} + 2u_{3} -13u_{4} = 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Muss ich das nun einmal in Abhängigkeit jedes Eintrages in U lösen?
19.04.2017, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das LGS lösen. Das geht am besten, wenn du schon mal was von Gauß gehört hast. Wenn nicht, dann machst du es eben so wie in der Schule.
19.04.2017, 19:02	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt raus: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} u_{1} & & & + u_{4} = 0 \\ & u_{2} & & + u_{4} = 0 \\ & & u_{3} &-7_{4}= 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun fällt mir der nächste Schritt nicht ein Ich würde jetzt sagen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} u_{1} = -u_{4} \\ u_{2} = -u_{4} \\ u_{3} = 7u_{4}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die gesuchte Basis
20.04.2017, 06:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Stichprobe: ist dein Lösungsvektor ein Element des R^4? Nein? Dann ist das auch keine Lösung.
20.04.2017, 06:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze $\begin{eqnarray} u_4=t\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und schreibe die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ auf. Übrigens ist eine Basis stets eine (geordnete) Menge von Vektoren.
20.04.2017, 07:44	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin wieder mal zu voreilig... Es muss gelten: $\begin{eqnarray} u = \cdot u_{4} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} u_{4} = t \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} U = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}, t\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \mathfrak B = \left\{\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 7 \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ . ?
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20.04.2017, 08:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
perfekt
20.04.2017, 10:44	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke. Ich habe mich nur gewundert, dass ich einen eindimensionalen Raum finde. Das ist ja dann eine Gerade.
20.04.2017, 10:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso wundern? Du suchst zu einem dreidimensionalen Unterraum des R^4 eine Basis des dazu orthogonalen Unterraums. Letzterer kann ja nur noch die Dimension 1 haben.

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