Riemann-Integrierbarkeit

19.04.2017, 22:02

Connor

Riemann-Integrierbarkeit

Meine Frage:
Hi, ich soll entscheiden ob

$\begin{eqnarray*} f(x) :=\begin{cases} 1, falls\: x = \frac{k}{100}\: f\ddot{u}r \: k = 0,...,100, \\ 0, sonst. \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

über dem Intervall $\begin{eqnarray*} f:[0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Riemann integrierbar ist. Nun weiß ich nicht genau wie ich das angehen soll.

Ich weiß, dass ich Ober/ und Untersumme berechnen muss. Sind diese gleich, ist die Funktion Riemann-Integrierbar.

Aus dem Skript habe ich als Formeln:

$\begin{eqnarray*} U = \sum\limits_{k=1}^{n} inf(x_{k} - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} O = \sum\limits_{k=1}^{n} sup(x_{k} - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

Mein Problem dabei ist, dass ich schon weiß, dass die Funktion Riemann integrierbar ist, aber wenn man Infimum und Supremum einsetzt, 2 verschiedene Werte rauskommen. Das Infimum ist doch einfach 0, und das Supremum 1. So kommt doch auf jeden Fall für die Untersumme 0, und für die Obersumme ein anderer Wert raus. Könnte mir bitte jemand Tipps geben, wie ich das nun angehen soll?

19.04.2017, 22:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Connor
Aus dem Skript habe ich als Formeln:

$\begin{eqnarray*} U = \sum\limits_{k=1}^{n} inf(x_{k} - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} O = \sum\limits_{k=1}^{n} sup(x_{k} - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

Schreibst du so schlecht ab? Diese Formeln sind blanker Unfug und haben nichts mit Riemannschen Unter- und Obersummen zu tun. unglücklich

Richtig wäre

$\begin{align*} U &= \sum_{k=1}^{n} (x_{k} - x_{k-1})\cdot \inf_{x\in [x_{k-1},x_k]} f(x)\\ O &= \sum_{k=1}^{n} (x_{k} - x_{k-1})\cdot \sup_{x\in [x_{k-1},x_k]} f(x) \end{align*}$

Zitat:

Original von Connor
Das Infimum ist doch einfach 0, und das Supremum 1.

Ersteres stimmt, zweiteres nicht - jedenfalls nicht in allen Intervallen, wenn die Zerlegung fein genug wird.

19.04.2017, 22:17

Connor

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Achso ok, als Zerlegung anbieten würde sich ja von $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_{101} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber haben wir dann nicht trotzdem eine größere Ober, als Untersumme?

Z.B. bei n = 101 hätten wir dann doch schon $\begin{eqnarray*} 1*(1- \frac{99}{100} ) \end{eqnarray*}$ und wären damit doch schon automatisch für die ganze Summe über 1.

Wieso sind Obersumme und Untersumme dann gleich?

19.04.2017, 22:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Connor
Wieso sind Obersumme und Untersumme dann gleich?

Wer behauptet denn sowas, dass die gleich sind?

Riemann-Integrierbarkeit bedeutet, dass der Grenzwert (!) von Ober- und Untersummen (hinsichtlich Intervallbreite der Zerlegungsintervalle gegen Null) gleich sind - NICHT die Ober- und Untersummen selbst.

Und die Zerlegung in 100 Teilintervalle sagt gar nichts - nimm mal 1000, 10000, 100000 ... dann reden wir weiter.

19.04.2017, 22:36

Connor

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Dann nehme man als Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z_{n} = \left\{ x_{1}=0,...,x_{k}=\frac{k-1}{100},...,x_{n+1}=1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wäre die Obersumme nicht trotzdem auch für n gegen unendlich das gleiche Schema?
Es werden doch trotzdem positive Teile zusammen addiert, die dadurch größer als 0 sind oder nicht? verwirrt

19.04.2017, 23:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Connor
Dann nehme man als Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z_{n} = \left\{ x_{1}=0,...,x_{k}=\frac{k-1}{100},...,x_{n+1}=1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Für welche n und k soll das denn bitte gelten? Für n=1000 und k=501 ist das z.B. Unfug, denn $\begin{align*} x_{501} = \frac{500}{100} = 5 \end{align*}$ liegt außerhalb des Integrationsintervalls [0,1]. unglücklich

19.04.2017, 23:18

Connor

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Kann man das dann so begründen, dass im Unendlichen $\begin{eqnarray*} x_{k} - x_{k-1} \end{eqnarray*}$ immer 0 ergibt, und somit die Grenzwerte von Ober/ Untersumme gleich sind?

19.04.2017, 23:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Connor
Kann man das dann so begründen, dass im Unendlichen $\begin{eqnarray*} x_{k} - x_{k-1} \end{eqnarray*}$ immer 0 ergibt, und somit die Grenzwerte von Ober/ Untersumme gleich sind?

Das ist kein Selbstläufer - es gibt auch Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wo diese Grenzwertgleichheit von Ober- und Untersummen nicht besteht - die sind dann eben nicht riemann-integrierbar. Insofern ist diese deine Begründung komplett abwegig. unglücklich

Du offenbarst hier haarsträubendste Lücken in Kenntnis und Verständnis der Riemann-Integral-Definition. Vielleicht solltest du da mal etwas nachsitzen, denn so wundert es mich nicht, dass du hier kein Land siehst bei der Aufgabe.

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