Konvergenz beweisen und Grenzwert finden (Epsilon-Kriterium)

20.04.2017, 10:46

dubbox

Konvergenz beweisen und Grenzwert finden (Epsilon-Kriterium)

Meine Frage:
Ich habe im allgemeinen zwar verstanden, wie ich das mit der Konvergenz zeige und was das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für eine Rolle spielt. Nur bei der Anwendung bin ich dann doch unsicher. Deswegen hier 3 Aufgaben und eine bei der ich ganz auf dem Schlauch stehe.

a) Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen sie falls möglich deren Grenzwert.
$\begin{eqnarray*} a_n = (1-\tfrac{1}{n})^{3n}(1+\tfrac{1}{n})^{n-3} \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = \tfrac{2}{(x^2)^n + 2} \end{eqnarray*}$

c) Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen sie falls möglich deren Grenzwert.
$\begin{eqnarray*} c_n = n^{-2}+\tfrac{10}{n}+n^{-3n}+\tfrac{n}{100} \end{eqnarray*}$

2) Hier ist das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium gefragt
$\begin{eqnarray*} d_n = 2-(\tfrac{1}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a)

Wir dürfen hier aus dem Skript verwenden:

$\begin{eqnarray*} (1-\tfrac{1}{n})^n = e^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+\tfrac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$

Also kann man das ganze errstmal wie folgt vereinfachen

$\begin{eqnarray*} a_n = (1-\tfrac{1}{n})^{3n}(1+\tfrac{1}{n})^{n-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = ((1-\tfrac{1}{n})^{n})^3\cdot\tfrac{(1+\tfrac{1}{n})^{n}}{(1+\tfrac{1}{n})^{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^{-3}\cdot\tfrac{e}{(1+\tfrac{1}{n})^{3}} \end{eqnarray*}$

Da jetzt gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\tfrac{1}{n})^{3} = 1^3 = 1 \end{eqnarray*}$

ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} = e^{-3}\cdot\tfrac{e}{(1+\tfrac{1}{n})^{3}} = e^{-3}\cdot e = e^{-2} \end{eqnarray*}$

Also ist unser Grenzwert $\begin{eqnarray*} a = e^{-2} \end{eqnarray*}$

Soll ich hier jetzt das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium verwenden oder das ganze mittels dem Verhältnis zur $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Funktion beweisen, also über die Grenzwertsätzte, wenn das geht?

b)

Das hier kam mir irgendwie etwas geschenkt vor, wenn es eben so einfach ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(x^2)^n + 2} \end{eqnarray*}$ ist zu berechnen.
Ich unterscheide dafür in 2 Fälle da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist.

1. $\begin{eqnarray*} x < 1 \land x > -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(0^2)^n + 2} = 1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \lor x \leq -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(\infty^2)^n + 2} = \lim_{n \to \infty}\tfrac{2}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n^{-2}+\tfrac{10}{n}+n^{-3n}+\tfrac{n}{100} = 0 + 0 + 0 + \infty = \infty \end{eqnarray*}$ durch Abschätzungen.

Jetzt müsste ja eigentlich die divergenz mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ leicht zu bestimmen sein, dennoch würde ich das lieber über die beschränktheit machen, da die Folge ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ja immer größer wird und das im Widerspruch zum $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium steht.

2)
$\begin{eqnarray*} d = \lim_{n \to \infty} 2-(\tfrac{1}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} 2-0=2 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert ist hier also die 2.

Jetzt muss mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \in \mathbb N: \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gelten $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists n_0,n \in \mathbb N:n\geq n_0 \land |d_n - d| < \epsilon \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} |d_n - 2| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow|2-(\tfrac{1}{2})^{n-1} - 2| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow|-(\tfrac{1}{2})^{n-1}| = |(\tfrac{1}{2})^{n-1}| \leq |(\tfrac{1}{2})^{n_0}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt sagen da $\begin{eqnarray*} (\tfrac{1}{2})^{n} \end{eqnarray*}$ beliebig klein werden kann, finde ich für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sodass die Bedingung erfüllt ist? Oder muss ich für das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ konkreter werden?

20.04.2017, 11:26

klarsoweit

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RE: Konvergenz Beweisen und Grenzwert finden (Epsilon-Kriterium)

Zitat:

Original von dubbox
Soll ich hier jetzt das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium verwenden oder das ganze mittels dem Verhältnis zur $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Funktion beweisen, also über die Grenzwertsätzte, wenn das geht?

Ähh, ich weiß jetzt nicht, was du da noch machen willst. Du hast doch die Grenzwertsätze angewendet und damit gezeigt, daß ein Grenzwert existiert.

Zitat:

Original von dubbox
Das hier kam mir irgendwie etwas geschenkt vor, wenn es eben so einfach ist.

Vorsicht an der Bahnsteigkante!

Zitat:

Original von dubbox
1. $\begin{eqnarray*} x < 1 \land x > -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(0^2)^n + 2} = 1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \lor x \leq -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(\infty^2)^n + 2} = \lim_{n \to \infty}\tfrac{2}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist formaler Unfug. Zum einen setzt du da den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (x^2)^n \end{eqnarray*}$ ein und bildest dann aber immer noch den Grenzwert. Das geht so nicht. Außerdem kann man mit "unendlich" nicht rechnen. Und obendrein stimmt deine Betrachtung nicht für |x| = 1.

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n^{-2}+\tfrac{10}{n}+n^{-3n}+\tfrac{n}{100} = 0 + 0 + 0 + \infty = \infty \end{eqnarray*}$ durch Abschätzungen.

Auch dies solltest du auf stabile (formal korrekte) Beine stellen. Erst mal ist $\begin{eqnarray*} c_n > \frac{n}{100} \end{eqnarray*}$ . Die Divergenz solltest du dann mit der entsprechenden Definition nachweisen.

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow|-(\tfrac{1}{2})^{n-1}| = |(\tfrac{1}{2})^{n-1}| \leq |(\tfrac{1}{2})^{n_0}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich würde so vorgehen: es ist $\begin{eqnarray*} |(\frac{1}{2})^{n-1}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{2^n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$

Zu jedem epsilon gibt es ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n_0 .

20.04.2017, 13:02

dubbox

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Erstmal entschuldige, ich weiß nicht wie man hier richtig Zitiert Big Laugh

deswegen antworte ich Absatztweise.

-Wenn ich also gezeigt habe, dass ein Grenzwert existiert, ist die konvergenz ebenso gezeigt? War mir da nicht ganz sicher, ob das äquivalent ist sozusagen. Also wenn ich mittels Grenzwertsätzte einen Grenzwert ermittele, so impliziert das die Konvergenz, natürlich wenn alles richtig gemacht?

-Hier hab ich wirklich unfug gebaut :/ Ist die allgemeine Fallunterscheidung denn ein guter ansatzt? dann würde ich es so ausdrücken:

1. $\begin{eqnarray*} x < 1 \land x > -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(x^2)^n + 2} = \tfrac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}$ da in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (x^2)^n = 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x > 1 \lor x < -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(x^2)^n + 2} = 0 \end{eqnarray*}$ da in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (x^2)^n = \infty \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} x = 1 \lor x = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \tfrac{2}{(x^2)^n + 2} = \tfrac{2}{3} \end{eqnarray*}$ da in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (x^2)^n = 1 \end{eqnarray*}$

Oder geht man hier ganz anders ran?

-Bin mir hier nicht sicher, wie ich das offensichtliche formal zeigen kann. Als Definition für Divergenz, bleibt mir nur dass etwas divergent ist, wenn es nicht konvergent ist.

$\begin{eqnarray*} c_n = \lim_{n \to \infty} n^{-2}+\tfrac{10}{n}+n^{-3n}+\tfrac{n}{100} > \tfrac{n}{100} \Rightarrow ? \end{eqnarray*}$ Es ist ja nunmal so, das die ersten 3 Summanden immer kleiner werden, der vierte jedoch immer Weiter wächst, was bedeutet der Wert steigt immer weiter an und es ist divergent. Nur wie zeige ich das Formal korrekt? Wahrscheinlich mit einem Widerspruch, aber wie gehe ich den mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ an?

Zitat:

Ich würde so vorgehen: es ist $\begin{eqnarray*} |(\frac{1}{2})^{n-1}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{2^n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$

Ich probiere das mal nachzuvollziehen:
$\begin{eqnarray*} |(\frac{1}{2})^{n-1}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{2^n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ hier hast du dann gerechnet $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^{n-1}=(\frac{1}{2^{n}}) / (\tfrac{1}{2}) = \frac{2}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ oder?
Dann $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2^n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$ darf man hier das einfach tauschen? (Bin nicht so top fit was Ungleichungen angeht) scheint aber logisch zu sein, kannte die Regel nur nicht.

Zitat:

Zu jedem epsilon gibt es ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n_0 .

das ist dann der Schluss und das Ende des Beweises oder muss ich konkret die existenz eines solchen n noch zeigen?

20.04.2017, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
Erstmal entschuldige, ich weiß nicht wie man hier richtig Zitiert

Einfach auf "Zitat" klicken. Dann bekommst du den kompletten Text mit den Quote-Tags. Aus dem Text löscht du dann alles, was du nicht brauchst.

Zitat:

Original von dubbox
Also wenn ich mittels Grenzwertsätzte einen Grenzwert ermittele, so impliziert das die Konvergenz, natürlich wenn alles richtig gemacht?

Ja, das ist Teil der Grenzwertsätze. Dieser Punkt wird gerne übersehen. smile

Zitat:

Original von dubbox
Oder geht man hier ganz anders ran?

Also für mich wäre das ok.

Zitat:

Original von dubbox
-Bin mir hier nicht sicher, wie ich das offensichtliche formal zeigen kann. Als Definition für Divergenz, bleibt mir nur dass etwas divergent ist, wenn es nicht konvergent ist.

Nun ja, es geht ja hier um die bestimmte Divergenz, also die Divergenz nach unendlich. Diese hat auch eine Definition.

Zitat:

Original von dubbox
Dann $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2^n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$ darf man hier das einfach tauschen? (Bin nicht so top fit was Ungleichungen angeht) scheint aber logisch zu sein, kannte die Regel nur nicht.

Das sind übliche (und eigentlich allgemein bekannte) Äquivalenzumformungen, ähnlich, wie sie auch für Gleichungen gelten.

Zitat:

Original von dubbox

Zitat:

Zu jedem epsilon gibt es ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} < 2^n \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n_0 .

das ist dann der Schluss und das Ende des Beweises oder muss ich konkret die existenz eines solchen n noch zeigen?

Nun ja, meinetwegen kann man noch darauf verweisen, daß die Folge $\begin{eqnarray*} x_n := 2^n \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist. Augenzwinkern

20.04.2017, 15:38

dubbox

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Zitat:

Das sind übliche (und eigentlich allgemein bekannte) Äquivalenzumformungen, ähnlich, wie sie auch für Gleichungen gelten.

(bei mir kommt nur nicht von wem ich Zitiere bzw. wie füge ich das ein^^)

Aber bleiben wir bei Mathe Big Laugh

Habe jetzt die Definierte Divergenz in unserem Skript gefunden (unglaublich kleiner Nebensatzt...)
Nach Definition ist eine Folge divergent, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} C \geq 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a_n \geq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ also genau das umgedrehte von der Konvergenz, kann man sich ja denken Big Laugh

Ich probiere es mal

$\begin{eqnarray*} c_n = \lim_{n \to \infty} n^{-2}+\tfrac{10}{n}+n^{-3n}+\tfrac{n}{100} > \tfrac{n}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c_n > \tfrac{n}{100} \geq C \end{eqnarray*}$ also ich hänge mich hier dann auf, entschuldige das Thema haben wir erst heute angefangen und ich hänge mich an dem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auf. Woher kommt dieses jetzt ?

Ich probiere es mal mit Worten zu formulieren. Ich weiß, meine Folge ist echt größer als $\begin{eqnarray*} \tfrac{n}{100} \end{eqnarray*}$ und das wiederum muss größer sein als $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ aber was genau ist dieses $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ? Im skript ist das natürlich nicht definiert, mathematisch sehr fein gelöst... Das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für die Konvergenz ist ja eine Art von Minimalabstand.

Ich stelle mir das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als eine Art untere Grenze vor, dh darunter fällt die Folge ab dem dazugehörigem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr. Und so gibt es das für jede natürliche Zahl was wiederum bedeutet, die Folge wächst ins unendliche.

Könnte man somit sagen da $\begin{eqnarray*} c_n > \tfrac{n}{100} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert auch für jedes $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray*} \tfrac{n_0}{100}\geq C \end{eqnarray*}$ . Oder muss ich das irgendwie formal beweisen?

Schon einmal vielen Dank für deine großartige Hilfe!!

20.04.2017, 15:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
(bei mir kommt nur nicht von wem ich Zitiere bzw. wie füge ich das ein^^)

Bei mir wird das automatisch am Anfang und Ende des Textes eingefügt:

code:
1:	[quote][i]Original von dubbox[/i]

Zitat:

Original von dubbox
Ich stelle mir das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als eine Art untere Grenze vor, dh darunter fällt die Folge ab dem dazugehörigem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr. Und so gibt es das für jede natürliche Zahl was wiederum bedeutet, die Folge wächst ins unendliche.

Ja, das ist in etwa die Definition in Worten wiedergegeben. smile

Zitat:

Original von dubbox
Könnte man somit sagen da $\begin{eqnarray*} c_n > \tfrac{n}{100} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert auch für jedes $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray*} \tfrac{n_0}{100}\geq C \end{eqnarray*}$ . Oder muss ich das irgendwie formal beweisen?

Du mußt jetzt zeigen, daß du für jedes C ein n_0 findest, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{n}{100} \geq C \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0. Wenn wir nun die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{n_0}{100} \geq C \end{eqnarray*}$ betrachten, dann kann man die bequem nach n_0 auflösen und hat dann ein n_0 gefunden. smile

20.04.2017, 16:30

dubbox

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt jetzt zeigen, daß du für jedes C ein n_0 findest, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{n}{100} \geq C \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0. Wenn wir nun die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{n_0}{100} \geq C \end{eqnarray*}$ betrachten, dann kann man die bequem nach n_0 auflösen und hat dann ein n_0 gefunden. smile

$\begin{eqnarray*} \tfrac{n_0}{100} \geq C \Leftrightarrow n_0 \geq 100\cdot C \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht irre, ist es dann schon fertig Big Laugh

Hab grade mal mein Wissen über Ungleichungen aufgefrischt... ist das einzige was sich ändert zum behandeln von Gleichungen, dass sich das Ungleichheitszeichen bei multiplikation bzw. division durch eine negative Zahl umdreht...?

21.04.2017, 08:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
ist das einzige was sich ändert zum behandeln von Gleichungen, dass sich das Ungleichheitszeichen bei multiplikation bzw. division durch eine negative Zahl umdreht...?

Ja, was die 4 Grundrechenarten angeht.

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