Beschränktheit einer Folge (Fakultät)

20.04.2017, 11:10

mathekai

Meine Frage:
Hallo Zusammen,
Es geht um folgende Folge:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n*3^{n} }{(n+1)!} \end{eqnarray*}$
Die Aufgabe ist eigentlich einfach aber ich bin mir trotzdem unsicher.
Die Frage ist ob die Folge beschränkt ist. Dazu muss man ja den Grenzwert berechnen.
Also lim -> infinity und lim -> -infinity. Gegen +unendlich ist der Grenzwert 0, weil Fakultät schneller wächst als Potenz.
Bei -unendlich würden die Ergebnisse zwischen + und - unendlich schwanken.
Wäre die Lösung entsprechend, dass die Folge nach oben beschränkt ist (Schranke = 0) und nach unten nicht beschränkt ist?

Meine Ideen:

Ich habe da glaube ich was durcheinander gebracht. Man muss nur lim -> infinity nicht gegen -infinity berechnen, oder?
Daraus ergibt sich das die Folge nach UNTEN beschränkt ist und nicht nach oben.
Bleibt die Frage nach dem genauen Lösungsweg.
Bringt es etwas, wenn ich aus (n+1)! folgendes mache: n! * n+1 ?
Daraus entsteht: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3^{n}*n }{n!*n+1} \end{eqnarray*}$
-> n! wächst schneller als 3^n und daher ist der Grenzwert 0.
Kann man das so begründen?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

20.04.2017, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathekai
Bei -unendlich würden die Ergebnisse zwischen + und - unendlich schwanken.

Wenn nicht explizit anders angegeben, betrachtet man eine Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ für wachsende Indizes ab einem gewissen Startindex, also genauer $\begin{align*} (a_n)_{n=n_0,n_0+1,\ldots} \end{align*}$ .

Eine Betrachtung $\begin{align*} n\to -\infty \end{align*}$ ist daher in den meisten Fällen ziemlich sinnfrei - insbesondere hier im konkreten Fall, wo Nenner $\begin{align*} (n+1)! \end{align*}$ für $\begin{align*} n\leq -2 \end{align*}$ gar nicht definiert ist. Es ist daher höchst merkwürdig, wie du auf die Idee kommst, hier $\begin{align*} n\to -\infty \end{align*}$ betrachten zu wollen. Erstaunt1

Zitat:

Original von mathekai
Daraus ergibt sich das die Folge nach UNTEN beschränkt ist und nicht nach oben.

Die Folge ist sowohl nach unten wie nach oben beschränkt, das gilt für alle konvergenten Folgen:

Ab $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ sind diese in einem $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Band gefangen, und deshalb dort natürlich beschränkt.

Und vor diesem $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ liegen nur endlich viele Werte, und eine endliche Menge reeller Zahlen ist ebenfalls beschränkt, einfach durch Minimum und Maximum, welches da immer existiert.

20.04.2017, 14:34

mathekai

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Danke für die Antwort.
Ich hab nochmal in den Unterlagen vom letzten Semester nachgesehen und bin wieder etwas geordneter im Kopf smile

Ich hatte völlig vergessen, das n bei Folgen nur natürlich sein kann, daher ist das mit
-unendlich natürlich Blödsinn.
Ich bin jetzt darauf gekommen, dass die Folge erst wächst (durch einsetzten) bis ca. 3,4 und sich dann gegen 0 annähert (durch lim -> unendlich). Ist das soweit richtig?

Noch eine Frage zum Monotonieverhalten. In der Schule war es noch so, dass man sagen konnte: Die Funktion ist monoton steigend bis ... und fallend bis ... .
Ist das hier auch so oder ist die Folge weder monoton steigend noch monoton wachsend?

20.04.2017, 14:44

HAL 9000

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Das kann man ja überprüfen. Dazu ein paar Gedanken:

1) Es ist $\begin{align*} a_n>0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ .

2) Für solche positive Folgen ist $\begin{align*} a_{n-1}<a_n \end{align*}$ (streng monoton wachsend) gleichbedeutend mit $\begin{align*} \frac{a_n}{a_{n-1}} > 1 \end{align*}$ , desgleichen $\begin{align*} a_{n-1}>a_n \end{align*}$ (streng monoton fallend) mit $\begin{align*} \frac{a_n}{a_{n-1}} < 1 \end{align*}$ .

Rechnen wir den Quotienten doch mal aus:

$\begin{align*} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n3^nn!}{(n+1)!(n-1)3^{n-1}} = \frac{3n}{n^2-1} \end{align*}$ nach Kürzen.

$\begin{align*} \frac{a_n}{a_{n-1}}<1 \end{align*}$ ist damit äquivalent zu $\begin{align*} 3n < n^2-1 \end{align*}$ , das ist für alle $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ erfüllt, vorher für $\begin{align*} n\leq 3 \end{align*}$ nicht. Damit gilt

a) $\begin{align*} a_{n-1}<a_n \end{align*}$ für $\begin{align*} n\leq 3 \end{align*}$ ,

b) $\begin{align*} a_{n-1}>a_n \end{align*}$ für $\begin{align*} n\geq 4 \end{align*}$ .

Damit ist klar, dass $\begin{align*} a_3 \end{align*}$ der Maximumwert der Folge, und damit insbesondere auch eine obere Schranke ist.

21.04.2017, 15:27

Matt Eagle

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Alternativ könnte man zunächst feststellen:

$\begin{eqnarray*} a_n\leq\frac{3^n}{n!}=\prod_{k=1}^n\frac 3k. \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ sind die Faktoren unter dem Produktzeichen kleiner als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n \frac 3k\leq \frac 92\text{ für alle }n\geq 3. \end{eqnarray*}$

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