Binomialverteilung untersuchen

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amlpep Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung untersuchen
Meine Frage:
a Kugeln werden zufällig auf a Urnen verteilt. Die Wahrscheinlichkeit in einer zufällig gewählten Urne keine Kugeln zu finden, soll p sein. Es gilt p = (1- 1/a)a

Dann weiter: Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Urnen, die keine Kugeln enthalten. Es wird behauptet: Y ist binomialverteilt mit n = a - 1 und der Wahrscheinlichkeit p. Untersuchen Sie für a = 3 die Gültigkeit dieser Aussage.




Meine Ideen:
(n über k)*pk*(1-p)n-k für n = k = 3 ergibt das 1* p3 * 1 = 2/33

wenn ich für n = a - 1 einsetze, erhalte ich für n = 2 raus und (2 über 3) geht ja nicht.

Vielen Dank an alle, die sich um eine Antwort bemühen. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal dies: Sämtliche Potenzen in deinem Beitrag sind verschwunden (vermutlich durch unachtsames Copy+Paste von dir verursacht), das macht deinen Beitrag ziemlich unleserlich. unglücklich


Zum Inhalt: Was "geht ja nicht"?

Die Behauptung ist: mit sowie (jedenfalls nehme ich an, dass du dies meinst).

Wenn du bei und damit den Wert einsetzt bekommst du , weil diese binomialverteilte Zufallsgröße nur Werte zwischen und annehmen kann.

ist allerdings auch korrekt, denn es können nicht alle drei Urnen leer sein, denn irgendwo müssen die Kugeln ja bleiben. D.h., ist kein geeeignetes Gegenbeispiel zum Widerlegen der Behauptung - da musst du dir schon was anderes suchen, z.B. : Gemäß behaupteter Binomialverteilung müsste da gelten

für .


Stimmt dieser Wert tatsächlich mit der inhaltlichen Bedeutung " beschreibt die Anzahl der Urnen, die keine Kugeln enthalten" überein? bedeutet hier, dass in jeder der drei Urnen jeweils genau eine Kugel landet - diese Wahrscheinlichkeit kann man kombinatorisch noch recht gut erfassen...



P.S.: Die tatsächliche Verteilung von ist (Achtung: etwas heftig)

für

gewonnen mit der Siebformel. Augenzwinkern
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialverteilung untersuchen
Deine Argumentation ist unverständlich. Der Fall kann doch gar nicht auftreten. Dann wäre doch alle Urnen unbesetzt. Und wo sind dann die Kugeln gelandet?

Mein Vorschlag:

Betrachte , also die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Urne eine Kugel bekommt. Das Resultat ist leicht anzugeben.

Betrachte nun für eine binomialverteilte Größe mit und dem genannten .

Vergleiche die beiden Ergebnisse allgemein und speziell für .

Edit: Verflixt! Wieder mal übersehen, dass schon geantwortet wurde.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch eine andere Möglichkeit der Widerlegung der Behauptung: Zufallsgröße kann man als Summe von Indikatorvariablen darstellen, d.h. mit

.

Offenkundig ist dann der Symmetrie wegen

.

Würde hingegen mit gelten, so käme man auf , Widerspruch.


P.S.: Die genannte Indikatorsumme kann man übrigens auch dazu benutzen, die Varianz von auszurechnen, ohne den haarigen Siebformelweg (s.o.) beschreiten zu müssen. Augenzwinkern
amlpep Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt die missglückte Notation.

Mal sehen, ob ich es richtig verstanden habe. Y=0, keine Urne ist leer.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/9, denn die erste Kugel kann ich beliebig verteilen, die zweite auf 2 von 3 Urnen (=2/3), die letzte Kugel auf die einzig übrig gebliebene leere Urne (=1/3). Daraus folgt: 2/3 * 1/3 = 2/9

P (Y=0) = (1-p)^n (p ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Urne leer ist, folglich ist 1-p die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht leer ist und hoch n, weil n Urnen (also alle) nicht leer sein sollen.)

P(Y=0)=(1-p)^n= (für p die gegebene Formel einsetzen) (1- (1-1/a)^a)a-1 = 361/729, was ungleich 2/9 ist, weswegen die Behauptung nicht stimmen kann.

Mit für n = a-1 und a = 3 geht nicht, meinte ich, dass n=2 und k=3 nicht geht, weil die Fakultät einer negativen Zahl nicht definiert ist. Ich war immer noch davon ausgegangen, dass k = n = a sein muss, aber im zweiten Teil der Aufgabe ist n die Anzahl leerer Urnen und k die Anzahl leerer "ausgewählter" Urnen, wenn ich das richtig verstanden habe.

Riesen Dank für eure Hilfe, ist echt nice, dass ihr euch die Zeit nimmt, um anderen zu helfen. Freude

PS: Der Beweis mit den Indikatorvariablen erschließt sich mir nur teilweise, werde da wohl noch etwas länger drüber nachdenken müssen.^^ Trotzdem danke auch für den Hinweis.
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