Lineare Abhängigkeit Sylvester Determinante

21.04.2017, 22:57	Anna-Banane	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit Sylvester Determinante Meine Frage: Hey, ich muss für die Uni eine Aufgabe lösen und knobel nun schon einige Zeit darüber. Ich soll folgendes zeigen: Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sind eine quadratische und kubische Form in $\begin{eqnarray} U,V \end{eqnarray}$ wie folgt gegeben: $\begin{eqnarray} q(U,V)=a_0 U^2+a_1 UV + a_2 V^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c(U,V)=b_0 U^3+ b_1 U^2 V+ b_2 U V^2 + b_3 V^3 \end{eqnarray}$ . Beweise, dass $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine gemeinsame Nullstelle $\begin{eqnarray} (n:r) \in \mathbb{P}^1 \end{eqnarray}$ (Projektiver Raum) genau dann haben, wenn $\begin{eqnarray} \det\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0\\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0\\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2\\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\ 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hinweis: Zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine gemeinsame Lösung haben die fünf Elemente $\begin{eqnarray} U^2q, UVq, V^2q, Uc, Vc \end{eqnarray}$ keinen 5-dimensionalen Vektorraum der Formen von Grad 4 aufspannen und folglich linear abhängig sind. Ich habe bereits relativ viel rumgerechnet und versucht eine lineare Abhängigkeit zu zeigen, da ja dann die Determinante auf jeden Fall 0 ist. Allerdings bin ich auf ein riesiges GLS gekommen, was ich nicht lösen kann. Wäre für jede Hilfe/Tipp dankbar.

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