Funktionsfolge gleichmäßige Konvergenz

22.04.2017, 14:24

Jefferson1992

Funktionsfolge gleichmäßige Konvergenz

Hallo liebe Leute,

ich höre gerade Analysis 2 und habe ein Wiederholungsblatt zur Ana 1 zu bearbeiten. Leider habe ich schon damals Funktionsfolgen nicht wirklich verstanden und möchte jetzt anhand eines Beispiels endlich Klarheit haben.

Ich hoffe, dass ihr dazu Zeit habt und mir kleinschrittig helfen könnt. Würde mich freuen!.)

Also es geht um folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \left[-1,1\right], f_n(x)=nx(1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt soll ich einmal auf punktweise und einmal auf gleichmäßige Konvergenz prüfen.

Für die Punktweise Konvergenz gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Folgenkonvergenz
2. Epsilon Schreibweise

Zu 1.
Zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } f_n(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ Wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ dann die Grenzfunktion ist. Da $\begin{eqnarray*} (1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ für das angegebene Intervall gegen 0 konvergiert, konvergiert auch die ganze Funktion gegen 0. Ist das richtig und kann ich das überhaupt so sagen?

2. habe ich leider in Analysis 1 überhaupt nicht verstanden, was es mit der Epsilon Schreibweise auf sich hat. Aber ich möchte jetzt auch in dieser Beziehung Klarheit haben, deswegen probiere ich das jetzt mal.
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \left[-1,1\right] \forall \epsilon>0 \exists N(\epsilon,x) \in \mathbb N \forall n>N(\epsilon,x) :|f_n(x)-f(x)|< \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich ja schon, dass die Grenzfunktion 0 ist, aber was wäre, wenn ich das nicht wüsste? Was genau setze ich dann für f(x) ein?

Vielen Dank erstmal, mache dann weiter, sobald ich Gewissheit habe, dass ich auf dem richtigen Weg bin.

22.04.2017, 16:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Da $\begin{eqnarray*} (1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ für das angegebene Intervall gegen 0 konvergiert

Für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ (liegt auch im Intervall) stimmt diese Aussage nicht.

Hinsichtlich der gleichmäßigen Konvergenz: Bestimme mal die Extremwerte von $\begin{align*} f_n \end{align*}$ .

22.04.2017, 16:40

Jefferson1992

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Danke. Aber dennoch konvergiert die ganze Funktion doch dann gegen 0, da ich ja auch noch ein x vor der Klammer stehen habe oder?

Würde bedeuten, die Grenzfunktion ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ richtig?

Für die Extremwerte muss ich die ganze Funktion erstmal nach x ableiten.

Da komme ich auf folgendes mit der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x) =n*(1-x^2)^n+nx*n*(1-x²)^{n-1}*(-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n*(1-x^2)^n-n^2x^2*(1-x^2)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Und das soll 0 werden. Ich stehe nur gerade irgendwie auf dem Schlauch, wie ich das umforme. Man könnte denke ich für $\begin{eqnarray*} x² \neq 1 \end{eqnarray*}$ teilen und käme dann auf:

$\begin{eqnarray*} n*(1-x^2) =n^2x^2 \end{eqnarray*}$

Aber macht das Sinn?

Danke!

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