GLn(K) dicht in Mn(K)

22.04.2017, 15:34	Taifun1232	Auf diesen Beitrag antworten »
GLn(K) dicht in Mn(K) Hallo zusammen, Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{K}=\mathbb R ,\mathbb C \end{eqnarray}$ . Zeige $\begin{eqnarray} GL_{n}(\mathbb K ) \end{eqnarray}$ ist dicht in $\begin{eqnarray} M_{n} (\mathbb K ) \end{eqnarray}$ . Also zu zeigen ist, dass für bel. $\begin{eqnarray} A\in M_{n} (\mathbb K ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} B\in GL_{n} (\mathbb K ) \end{eqnarray}$ ex. s.d. $\begin{eqnarray} d(A,B)< \epsilon \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ Metrik auf $\begin{eqnarray} M_{n}(\mathbb K ) \end{eqnarray}$ ist. Als Hinweis habe ich erhalten, dass ich die EW betrachten soll. Kann mir jemand eine Starthilfe geben. Welche Metrik empfielt sich heit?
24.04.2017, 18:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: GLn(K) dicht in Mn(K) $\begin{eqnarray} M_{n}(\mathbb K ) \end{eqnarray}$ ist ein endlichdimensionaler Vektorraum, also sind dort alle Normen äquivalent. Ich würde eine Abbildungsnorm nehmen, die hat zusätzlich den Charme, submultiplikativ zu sein $\begin{eqnarray} \\|AB\\|\leq \\|A\\|\\|B\\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A,B\in M_{n}(\mathbb K ) \end{eqnarray}$ . Dann würde ich benutzen, dass man jede Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch Zeilen- und Spaltenumformungen in eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D=diag(1,\ldots ,1,0\ldots , 0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Rang(D) = Rang(A) \end{eqnarray}$ verwandeln kann. $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ kann man jetzt behutsam in eine invertierbare Matrix verwandeln.

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