Riemansummen und Grenzwert

22.04.2017, 18:32

ms20

Riemansummen und Grenzwert

Meine Frage:
Hallo meine Aufgabe ist :

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe als Hinweis bekommen : Man interpretiere die Summen als Riemannsummen.

aber leider weiß ich nicht wie das geht.

22.04.2017, 18:53

005

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RE: Riemansummen und Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}=h[f(a+h)+f(a+2h)+\cdots+f(a+nh)] \end{eqnarray*}$

Gib $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ fuer eine solche Darstellung an.

22.04.2017, 18:59

ms20

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RE: Riemansummen und Grenzwert
was meinst du damit wie soll ich das machen

22.04.2017, 19:02

HAL 9000

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Eine stetige Funktion $\begin{align*} f:\; [0,1]\to \mathbb{R} \end{align*}$ ist auf ihrem Definitionsintervall riemannintegrierbar, und es gilt dann

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left( \frac{k}{n}\right) = \int\limits_0^1 f(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Beide Aufgaben bei dir passen in dieses Schema, du musst "nur" jeweils die passende Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ dazu finden (und diese dann natürlich integrieren können).

Für die erste gebe ich mal eine entsprechende Hilfestellung: Es ist $\begin{align*} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)} \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \end{align*}$ , also wählt man welches $\begin{align*} f \end{align*}$ ?

22.04.2017, 19:38

ms20

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Achso ich glaube ich verstehe jetzt wenn man sozusagen die Summe in die Form bringen kann (weiß nicht ob das immer geht ) Dann ist der Grenzwert einfach nur das Integral von f(x).

Also wäre es doch in dem fall :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+\frac{k}{n} } \, d k, oder n \end{eqnarray*}$ aber muss ich nach k oder n Integrieren ?

22.04.2017, 20:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von ms20
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+\frac{k}{n} } \, d k, oder n \end{eqnarray*}$

Nein. Schau nochmal genau hin - es taucht kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mehr in der $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Festlegung bzw. im Integral auf. unglücklich

22.04.2017, 20:22

Ms20

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Achso ich glaube ich weiß was du meinst anstatt k/n muss ich jetzt x schreiben und 1/1+x ist genau arctan.
Und arctan (1)- arctan(0) = pi/4 -0 = pi/4 also ist der Gw gleich 0 oder ?

22.04.2017, 20:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ms20
und 1/1+x ist genau arctan.

Bitte schludere mal nicht so rum, und schreib das vernünftig auf. Insbesondere weiß ich nicht, über welche der beiden Aufgaben du da gerade sprichst.

22.04.2017, 20:52

ms20

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naja von der 1 Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n} } = \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+x } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+x } \, dx = [arctan(1)-arctan(0)]= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

so ?

22.04.2017, 21:05

Mathema

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Nein - es ist $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{1+x^2 } \, \dd x = \arctan(x) \end{eqnarray*}$

22.04.2017, 21:10

ms20

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sorry das stimmt ich meine:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+x } \, dx = ln(|1+1|)- ln(1)=ln(2) \end{eqnarray*}$

22.04.2017, 21:19

ms20

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und die 2 Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

und was ich mich frage muss denn hinter der Summe 1/n stehen damit ich diese regel anwenden kann ?

22.04.2017, 21:22

ms20

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achsoo da ist ja auch die 1/n da vor also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

also würde aus $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

22.04.2017, 21:32

HAL 9000

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Ja, jetzt kommt es hin.

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