Stetigkeit und der Graph eines Operators

22.04.2017, 19:14

Approxx

Stetigkeit und der Graph eines Operators

Sei $\begin{eqnarray*} T:C^1([0,1])\mapsto C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} T(f)=f' \end{eqnarray*}$ . Die Vectorräume $\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ sind mit der Supremum Norm $\begin{eqnarray*} ||.||_{\infty} \end{eqnarray*}$ ausgestattet.

-Zeigen Sie, dass der Graph $\begin{eqnarray*} G(T) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.
Muss ich zeigen, dass das Komplement der Menge G(T) offen ist, um die Abgeschlossenheit zu zeigen?

-Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist.
Hier fällt mir leider kein Gegenbeispiel ein

23.04.2017, 00:00

10001000Nick1

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im Matheboard! smile

Abgeschlossenheit eines Unterraums $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ von einem Banachraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Folgengliedern in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist, dann liegt auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} x:=\lim_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Für Graphen bedeutet das folgendes: Seien $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ Banachräume, $\begin{eqnarray*} D\subseteq X \end{eqnarray*}$ ein Unterraum und $\begin{eqnarray*} T: D\to Y \end{eqnarray*}$ ein linearer Operator. Der Graph von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} G(T):=\{(x,Tx)\mid x\in D\}\subseteq X\times Y \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} G(T) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert jeder konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} ((x_n, Tx_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ (mit Folgengliedern in $\begin{eqnarray*} G(T) \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} G(T) \end{eqnarray*}$ .

Die Folge $\begin{eqnarray*} ((x_n, Tx_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn die beiden Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Tx_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergieren (in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ).

Zusammengefasst bedeutet das: Um die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} G(T) \end{eqnarray*}$ zu beweisen, musst zu zeigen:
Wenn $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist, sodass $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Tx_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ beide konvergieren, dann gilt $\begin{eqnarray*} x:=\lim_{n\to\infty} x_n\in D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} Tx_n=Tx \end{eqnarray*}$ .

Überlege dir jetzt, was das für deinen Operator bedeutet. (Hier ist $\begin{eqnarray*} X=Y=C([0,1]), D=C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ .) Tipp: Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm ist dasselbe wie gleichmäßige Konvergenz.

23.04.2017, 14:43

Approxx

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Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!

Beweis zur ersten Teilaufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Tx_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C^0([0,1]) \to \end{eqnarray*}$ konvengieren dann gilt:

- $\begin{eqnarray*} ||x_n - x ||_\infty = \overset{\text{}}{\underset{\text{$x,x_n \in C^1([0,1]) $}}{sup}} ||x_n - x || \end{eqnarray*}$ geht für n gegen unendlich gegen Null (der Ausdruck ist wohldefiniert, da x,x_n stetig auf einem Kompakten Intervall sind und somit beschränkt sind)

- $\begin{eqnarray*} ||Tx_n - Tx ||_\infty = \overset{\text{}}{\underset{\text{$x,x_n \in C^1([0,1]) $}}{sup}} ||T(x_n - x) || \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich erhalten wir $\begin{eqnarray*} ||T(a)||_\infty= ||a'||_\infty=||0||_\infty=0 \end{eqnarray*}$ wobei a die Nullfunktion ist

Ist das soweit korrekt?

Für die zweite Teilaufgabe muss ich ein Beispiel finden, dass folgende Eigenschaft nicht erfüllt

$\begin{eqnarray*} \exists c \geq 0, ||Tx||_\infty \leq c ||x||_\infty \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 16:47

10001000Nick1

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Ich verstehe nicht wirklich, was du da zeigen willst. verwirrt

Z.B. macht das hier:

Zitat:

Original von Approxx
- $\begin{eqnarray*} ||x_n - x ||_\infty = \overset{\text{}}{\underset{\text{$x,x_n \in C^1([0,1]) $}}{sup}} ||x_n - x || \end{eqnarray*}$

wenig Sinn.
Und was soll das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sein?

Vielleicht ein Vorschlag: Wir nennen hier (wie meistens üblich) die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Argumente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das sollte helfen, einige Verwechslungen zu vermeiden.
Die Supremumsnorm einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty :=\sup_{x\in[0,1]} |f(x)| \end{eqnarray*}$ .

Es seien also die $\begin{eqnarray*} f_n\in C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ , und die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent gegen $\begin{eqnarray*} f\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ .
Zusätzlich konvergiere auch die Folge $\begin{eqnarray*} (Tf_n)_{n\in\mathbb N}=(f_n')_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} g\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist jetzt $\begin{eqnarray*} f\in C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=Tf=f' \end{eqnarray*}$ .

Irgendeine Idee? Vielleicht kennst du irgendwelche Sätze zur gleichmäßigen Konvergenz differenzierbarer Funktionen.

Um die Stetigkeit kümmern wir uns danach.

23.04.2017, 19:45

Approxx

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....Stimmt, da bin ich mit den Bezeichnungen durcheinander gekommen.

Ich kenne keine Sätze zur gleichmäßigen Konvergenz differenzierbarer Funktionen.

Das Aufgabenblatt beinhaltet Themen zur Funktionalanalysis die wir in der Vorlesung nicht besprochen haben, da diese ausgefallen ist. Ich bin davon ausgegangen, dass ich mit meinem Vorwissen die Aufgaben eventuell lösen könnte, scheint aber nicht der Fall zu sein.

Bei den von mir betrachtet Räumen handelt es sich doch um normierte Banachräume, d.h. Eigenschaften wie Stetigkeit, Beschränkt etc. sind äquivalent.
Wenn ich ein Gegenbsp. finde, hätte ich die zweite Teilaufgabe gelöst oder ich hier auch einen Denkfehler?

23.04.2017, 20:38

10001000Nick1

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Ich dachte da an folgendes:
Wenn die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ alle differenzierbar sind und punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren, und die Folge der Ableitungen $\begin{eqnarray*} (f_n')_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergieren gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'=g \end{eqnarray*}$ . (D.h. die Ableitung der Grenzfunktion ist der Grenzwert der Ableitungen.)

Zitat:

Original von Approxx
Bei den von mir betrachtet Räumen handelt es sich doch um normierte Banachräume, d.h. Eigenschaften wie Stetigkeit, Beschränkt etc. sind äquivalent.

$\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ ist versehen mit der Supremumsnorm kein Banachraum (d.h. nicht vollständig). Das brauchst du aber auch gar nicht: Ein linearer Operator zwischen zwei normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist, ja.

Um die Beschränktheit zu widerlegen, musst du zeigen, dass es kein $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} f\in C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|f'\|_\infty \leq c \|f\|_\infty \end{eqnarray*}$ . (D.h. $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ darf nicht von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängen.)

Dazu kannst du z.B. eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ differenzierbarer Funktionen angeben mit $\begin{eqnarray*} \|f_n\|_\infty=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \|f_n'\|_\infty=\infty \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst also nicht "ein Gegenbeispiel", sondern eine Folge von Funktionen.

24.04.2017, 21:34

Approxx

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Danke für deine Hilfe.

Ich konnte beide Aufgaben lösen. Als Funktionsfolge hatte ich $\begin{eqnarray*} f_n(x)=e^{xn} \end{eqnarray*}$ gewählt um zu zeigen, dass der Operator nicht beschränkt ist und somit nicht stetig ist.

26.04.2017, 15:59

10001000Nick1

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Ja, passt so. Freude

Ein anderes mögliches Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sin(nx) \end{eqnarray*}$ .

Übrigens: Wenn man $\begin{eqnarray*} C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} \|f\|_1 :=\|f\|_\infty + \|f'\|_\infty \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} C([0,1]) \end{eqnarray*}$ weiterhin mit der Supremumsnorm) ausstatten würde, wäre $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ beschränkt (wegen $\begin{eqnarray*} \|f'\|_\infty \leq \|f \|_\infty + \|f'\|_\infty= \|f\|_1 \end{eqnarray*}$ ) und damit stetig.

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