Geometrische Reihe rechnen

23.04.2017, 08:34

NichtRegUser

Geometrische Reihe rechnen

Es sei $\begin{eqnarray*} p \in (0 \ 1). \end{eqnarray*}$

Berechne $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} (1-p)*p^n \end{eqnarray*}$

Hallo zusammen.

Ich habe hier ein anscheinend ganz einfaches Problem. Bin aber zu doof, wenn ich die geometrische Reihe anwenden will.

Die geometrische Reihe lautet bekannermaßen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} z^n = \frac{1-z^{i+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$

Das möchte ich auf in der Aufgabenstellung benutzen.

Allerdings weiß ich durch einsetzen, was rauskommen soll, nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} (1-p)*p^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1-p)*p^0 + (1-p)*p^1 + (1-p)*p^2+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1-p + p -p^2 + p^2 -p^3+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-p^{i+1} \end{eqnarray*}$

Mit der geometrischen Reihe erhalte ich aber erst Mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} (1-p)*p^n = \sum_{n=0}^{i} p^n - \sum_{n=0}^{i}p^{n+1} \end{eqnarray*}$

Den gerade durchgeführten Schritt darf ich nicht machen, oder?

Weil wenn ich weiter umforme, kommt zum Schluss das falsche Ergebnis heraus.

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-p^{i+1}}{1-p} - \frac{1-p^{i+1+1}}{1-p} \end{eqnarray*}$

Und weiteres Umformen liefert

$\begin{eqnarray*} = \frac{1-p^{i+1}-(1-p^{i+2})}{1-p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{p^{i+2}-p^{i+1}}{1-p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(1-p)(-p^{i+1})}{1-p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - p^{i+1} \end{eqnarray*}$

Was mache ich schon wieder falsch?
Danke schon Mal für die Aufklärung.

23.04.2017, 10:53

Mitleser

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} (1-p)*p^n = \sum_{n=0}^{i} p^n - \sum_{n=0}^{i}p^{n+1} \end{eqnarray*}$

Den gerade durchgeführten Schritt darf ich nicht machen, oder?

Das ist schon ok, wobei sich noch mehr angeboten hätte, es aufgrund des konstanten Faktors so zu schreiben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{i} (1-p)*p^n = (1-p) \cdot \sum_{n=0}^{i} p^n \end{eqnarray*}$

Beim folgenden Schritt ist eher was falsch am Ende beim zweiten Term :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1-p^{i+1}}{1-p} - \frac{1-p^{i+1+1}}{1-p} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} p^{n+1}=p \cdot p^n \end{eqnarray*}$ kannst du leicht sehen, dass dein Exponent i+1+1 an der Stelle nicht passt.

23.04.2017, 13:17

NichtRegUser

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Danke lieber Mitleser Gott

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