Ableitung Cobb-Douglas Prod.-funktion

23.04.2017, 11:12

Rabo2908

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Ableitung Cobb-Douglas Prod.-funktion

Hallo zusammen,

ich soll für folgende Funktion die Grenzprodukte berechnen:

$\begin{eqnarray*} F(N,K)=A*N^/alpha * K^1-/alpha \end{eqnarray*}$

Also jetzt ableiten!

$\begin{eqnarray*} \frac{dF(N,K)}{dN}= \alpha *AN^{1-\alpha}*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

Laut Lösung soll allerdings:
$\begin{eqnarray*} \alpha A*\left ( \frac{K}{N} \right )^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

herauskommen.

Wo ist mein Fehler? verwirrt

verwirrt

23.04.2017, 11:14

Rabo2908

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Leider hat die Formatierung der Produktionsfunktion nicht richtig geklappt,
die Produktionsfunktion lautet:

$\begin{eqnarray*} F(N,K)=A*N^{\alpha }*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 11:19

Mitleser

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{dF(N,K)}{dN}= \alpha *AN^{1-\alpha}*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

Warum steht da $\begin{eqnarray*} 1- \alpha \end{eqnarray*}$ im Exponenten bei der N-Potenz ?

23.04.2017, 11:20

forbin

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Hatte mich schon gewundert, denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} A\cdot N^{\alpha}\cdot K^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ ist doch:
$\begin{eqnarray*} A\cdot \alpha\cdot N^{\alpha-1}\cdot K^{1-\alpha} = A\cdot\alpha\cdot N^{-(1-\alpha)}\cdot K^{1-\alpha} = A\cdot\alpha\cdot(\frac{K}{N})^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 11:21

Rabo2908

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Danke, richtigerweise:

$\begin{eqnarray*} \alpha *AN^{\alpha -1}*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetzt weitermachen?

23.04.2017, 11:23

forbin

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Wenn ich dich richtig verstehe bist du doch fertig.
Denn das ist der Ausdruck den du im Eingangspost unter "Das kommt laut Lösung raus" geschrieben hast.

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23.04.2017, 11:23

Rabo2908

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Wieso lautet denn der Exponent nach der Ableitung

$\begin{eqnarray*} -(1-/alpha) \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2017, 11:29

forbin

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Kurzer Ansatz dazu:
$\begin{eqnarray*} N^{\alpha-1}\cdot A^{1-\alpha} = N^{-(1-\alpha)}\cdot A^{1-\alpha} = (\frac{1}{N})^{1-\alpha}\cdot A^{1-\alpha} = (\frac{A}{N})^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 11:37

Rabo2908

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Verstehe ich nicht :/

Nochmal ein Schritt zurück,
die Ableitung ist ja:

$\begin{eqnarray*} \alpha *AN^{\alpha -1}*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

was nichts anderes ist als:

$\begin{eqnarray*} \alpha *AN^{-1+\alpha*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

Verstehe jetzt nicht wie ich weiter umformen kann.

23.04.2017, 11:38

Rabo2908

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$\begin{eqnarray*} \alpha *AN^{-1+\alpha}*K^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 11:39

forbin

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Leider wieder ein Fehler im LaTeX-Code...

Genau, das ist die Ableitung. Jetzt schreibst du den Exponenten bei N um und zwar so, dass ein Minus davorsteht.
Was macht ein negativer Exponent? smile

smile

23.04.2017, 11:44

Rabo2908

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Das ist eben ganz genau mein Problem.

Wieso kann ich einfach ein Minus davor schreiben? Welche "Regel" hast du da benutzt? verwirrt

verwirrt

23.04.2017, 11:45

forbin

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Die Regel, dass der die beiden Ausdrück $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \text{ und} -(\alpha-1) \end{eqnarray*}$ gleich sind smile

smile

23.04.2017, 11:51

Rabo2908

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Verdammt nochmal, ich hab übersehen das du die Position von alpha und 1 vertauscht hast!

Danke!!! Freude

Freude

Gott

23.04.2017, 11:58

forbin

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Kein Problem. Mikro I ? smile

smile

23.04.2017, 11:59

Rabo2908

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Nein, Makro ;-)

23.04.2017, 12:19

Mitleser

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Möglich wäre es auch, sich direkt am Anfang die "Arbeit" mit dem Zusammenfassen zu machen.
Danach muss man dann nur noch nach N Ableiten (Kettenregel beachten).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(N,K)=A*N^{\alpha }*K^{1-\alpha }=A \cdot N^{\alpha} \cdot K^1 \cdot K^{-\alpha}=A \cdot N^{\alpha} \cdot \frac{1}{K^{\alpha}} \cdot K=A \cdot K \cdot (\frac{N}{K})^{\alpha} \end{eqnarray*}$

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