Matrix der Bilinearform bezüglich der Standardbasis bestimmen

23.04.2017, 11:32

Gowri

Matrix der Bilinearform bezüglich der Standardbasis bestimmen

Meine Frage:
Hallo Zusammen smile

ich habe eine Aufgabe bekommen, die mich sehr beschäftigt. Irgendwie verwirrt mich das Ganze ein wenig.

Die Aufgabe lautet:
Sei V= Mat(2x2,IR) der Vektorraum der reellen 2x2 Matrizen. Bestimmen Sie die Matrix der Bilinearform $\begin{eqnarray*} \gamma (A,B)= Spur (A,B) \end{eqnarray*}$ auf V bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} E_{11} ,E_{12}, E_{21},E_{22} \end{eqnarray*}$

Ich hatte schon die Abbildungsmatrix in der Uni...aber leider ist mir die Abbildungsmatrix in dieser Form noch unbekannt.

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \gamma (A,B)= Spur (A,B)= a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left\{ E_{11} ,E_{12}, E_{21},E_{22}\right\}= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Normalerweise sollte ich jetzt ja die Standardbasis in die Bilinearform einsetzen und dann das Ergebnis wieder mit der Standardbasis darstellen. Aber da nun jetzt die Standarbasis eine 2x2 Matrix ist, bin ich ein wenig verwirrt. Ausserdem wie kann ich ein Skalar mit der Standardbasis darstellen? Denn die Spur ergibt immer eine Zahl und eine Zahl wieder mit der Standardbasis darzustellen, scheint mir ein wenig absurd. Oder Habe ich was falsch verstanden?

Ich wäre um jede Hilfe dankbar!

23.04.2017, 12:00

Elvis

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Wenn ich den Abschnitt "Koordinatendarstellung" hier https://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform richtig verstehe, ist die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \gamma(E_{11},E_{11}) & .. & \gamma(E_{11},E_{22}) \\ . & .. & . \\ . & .. & . \\ \gamma(E_{22},E_{11}) & .. & \gamma(E_{22},E_{22}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gesucht.

Das ist keine Abbildungsmatrix, sondern eine Darstellungsmatrix. Lehrer

Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \gamma(A,B)=Spur(A\cdot B) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \gamma(A,B)=Spur(A,B) \end{eqnarray*}$ .

23.04.2017, 12:24

Gowri

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$\begin{eqnarray*} \gamma(A,B)=Spur(A,B) \end{eqnarray*}$ Ups...hier habe ich mich vertippt. Hammer

Sorry, du hast das richtig gesehen. Das sollte, wie du gesagt hast, $\begin{eqnarray*} \gamma(A,B)=Spur(A*B) \end{eqnarray*}$ heissen.

Ich habe den Abschnitt "Koordinatendarstellung" studiert und frage mich gerade, ob die Matrix nicht eher so aufgebaut wäre:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \gamma(E_{11},E_{11}) & .. & \gamma(E_{12},E_{12}) \\ . & .. & . \\ . & .. & . \\ \gamma(E_{21},E_{21}) & .. & \gamma(E_{22},E_{22}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nicht... $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \gamma(E_{11},E_{11}) & .. & \gamma(E_{11},E_{22}) \\ . & .. & . \\ . & .. & . \\ \gamma(E_{22},E_{11}) & .. & \gamma(E_{22},E_{22}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder wie würdest du es begründen, dass man nicht auf $\begin{eqnarray*} E_{21},E_{12} \end{eqnarray*}$ Rücksicht nehmen muss?

23.04.2017, 12:52

Elvis

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Meine Darstellungsmatrix ist eine 4x4-Matrix, weil die Basis $\begin{eqnarray*} \{E_{11},...,E_{22}\} \end{eqnarray*}$ 4 Elemente enthält. Für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$ must du ein $\begin{eqnarray*} \gamma(.,.) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

23.04.2017, 13:05

Gowri

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Dann würde die 4x4 Matrix so aussehen...oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \gamma(E_{11},E_{11}) & \gamma(E_{11},E_{12}) & \gamma(E_{11},E_{21})&\gamma(E_{11},E_{22}) \\ \gamma(E_{12},E_{11}) & \gamma(E_{12},E_{12})& \gamma(E_{12},E_{21}) & \gamma(E_{12},E_{22})\\ \gamma(E_{21},E_{11}) & \gamma(E_{21},E_{12}) & \gamma(E_{21},E_{21})&\gamma(E_{21},E_{22})\\ \gamma(E_{22},E_{11}) & \gamma(E_{22},E_{12}) & \gamma(E_{22},E_{21}) & \gamma(E_{22},E_{22}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Verstehe ich das richtig?

23.04.2017, 13:21

Elvis

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genau richtig, jetzt musst du nur noch diese 16 Spuren ausrechnen

23.04.2017, 14:08

Gowri

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Super! Jetzt ist alles klar. smile

Ich danke dir! Freude

23.04.2017, 18:00

Elvis

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Zitat:

Original von Elvis
Das ist keine Abbildungsmatrix, sondern eine Darstellungsmatrix. Lehrer

Noch eine Erklärung zu dieser "oberschlauen" Bemerkung.
Unter Abbildungsmatrix verstehe ich eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , mit deren Hilfe eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W, x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ so aussieht: $\begin{eqnarray*} \forall x\in V: f(x)=A\cdot x \end{eqnarray*}$
Unter Darstellungsmatrix verstehe ich eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , mit deren Hilfe eine Bilinearform $\begin{eqnarray*} b:V\times W\to K, (x,y)\mapsto b(x,y) \end{eqnarray*}$ so aussieht: $\begin{eqnarray*} \forall x\in V,\forall y \in W:b(x,y)=x^TBy \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 19:40

Gowri

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Für mich sieht eigentlich eine Abbildungsmatrix bezüglich f mit den Basen A und B zB so aus:

$\begin{eqnarray*} M_{B}^{A} (f) \end{eqnarray*}$ verwirrt

23.04.2017, 19:55

Elvis

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Ja, Abbildungsmatrizen und Darstellungsmatrizen sind immer von Basen abhängig, das wissen wir beide. Ich wollte es aber nicht unnötig kompliziert machen.

23.04.2017, 20:00

Gowri

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Gut, dann habe ich das richtig verstanden Freude

Jetzt wird mir aber auch gleich klar, was der Unterschied zwischen Abbildungs- und Darstellungsmatrix ist. Danke Augenzwinkern

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