Stetige Funktion (Bitte einen Tipp)

23.04.2017, 11:48	nico1997	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion (Bitte einen Tipp) Meine Frage: Hi, ich hab eine Aufgabe bei der ich begründen soll, warum ein x aus [a,b] existiert für das gilt: f(x)=x. Die dazugehörige Funktion: $\begin{eqnarray} f\left( x \right) ,x\in \left[ a,b \right] \end{eqnarray}$ ist stetig und hat die Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \forall x\in \left[ a,b \right] :f\left( x \right) \in \left[ a,b \right] \end{eqnarray}$ Ich habe die Funktion so verstanden, das der Definitionsbereich gleich der Zielmenge ist und das es daher ein Argument gibt das gleich seiner Funktionswert ist. Mir fällt leider nur eine Funktion ein bei der das so ist: f(x)=x. Kann mir jemand bitte einen Denkanstoß geben? Meine Ideen: steht oben.
23.04.2017, 12:04	Mitleser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst also begründen, warum für eine Funktion mit den in der Aufgabe genannten Eigenschaften stets einen Fixpunkt hat (ein Wert wird auf sich selbst abgebildet). Wenn also f(x)=x gilt, dann folgt äquivalent f(x)-x=0. Fixpunkte von f(x) sind demnach also nichts anderes als Nullstellen von g(x)=f(x)-x. Überlege dir nun, warum es hier in [a,b] eine Nullstelle geben muss.
23.04.2017, 13:38	nico1997	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe immer noch nicht, wie ich mir f mit den Eigenschaften vorstellen soll. Gibt es Funktionen außer f(x)=x für die diese Eigenschaften stimmen? Ich meine unstetige Funktionen schon. Z.b. $\begin{eqnarray} f\left( x \right) =\begin{cases} x+3,\: x\le 3 \\ x-3,\: x>3 \end{cases},\:x\in \left[ 0,6 \right] \end{eqnarray}$ Aber stetige ? P.s. Nach dem Zwischenwertsatz muss eine Nullstelle existieren, da gilt: f(a) >= a und f(b) <= b. Daraus ergibt sich: g(a) >= 0 und g(b) <= 0 Es muss also ein c geben das 0 ist.
23.04.2017, 17:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie schwer zu glauben, dass dir so gar keine stetige Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ einfällt, die nur Funktionswerte in $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ annimmt. Vielleicht denkst du zu kompliziert; es gibt ganz einfache Funktionen, die das erfüllen.
23.04.2017, 18:23	nico1997	Auf diesen Beitrag antworten »
mir fällt wirklich keine ein ;D für ein Beispiel wäre ich wirklich dankbar, vielleicht macht es dann Klick.
23.04.2017, 18:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es denn mit den allereinfachsten Funktionen, die gibt? Nämlich eine konstante Funktion?
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