Potenzgesetz- Wurzelterm |
| 23.04.2017, 15:40 | Brummkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Potenzgesetz- Wurzelterm Hallo zusammen, ich komme bei folgender Wurzelaufgabe zu einem Widerspruch, den ich nicht verstehe: (-16)^(2/4) = (-16)^(1/2) Meine Ideen: Legt man die Menge der reellen Zahlen zu Grunde, kann man diese Aufgabe nicht lösen, denn es gibt keine Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt (das würde dem Gesetz ?Minus mal Minus gleich Plus? widersprechen). Auf der anderen Seite kann man den Term (-16)^(2/4) laut Potenzgesetz auch umschreiben: (-16)^(2/4) = (-16)^(2 x 1/4) Wendet man nun das Potenzgesetz a^(m x n) = (a^m)^n an, so erhält man: (-16)^(2 x 1/4) =((-16)^2)^(1/4) (-16)^2 ergibt aber eine positive Zahl, aus der man die 4. Wurzel ziehen kann, so daß diese Aufgabe doch in der Menge der reellen Zahlen lösbar sein müßte. Ich vermute, mein Fehler ist, daß ich bei obigem Potenzgesetz eine Klammer um die ? 16 setze und das dann quadriere. Man kann mein Problem auch umgehen, indem man gleich am Anfang den Exponenten 2/4 kürzt zu 1/2. Dann sieht man gleich: ?Aha, hier soll die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Das geht in der Menge der reellen Zahlen nicht? Trotzdem verstehe ich nicht, warum man von einer unlösbaren Aufgabe zu einer ?scheinbar- lösbaren kommt, wenn man den Exponenten 1/2mit 2 zu 2/4 erweitert. Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen, wo mein Denkfehler ist? Ich vermute ja, er liegt bei der Klammer um die -16, allerdings verstehe ich nicht, warum das falsch ist, denn das Potenzgesetz a^(m x n) = (a^m)^n wird dadurch ja nicht verletzt, oder? Man kann das Problem auch anders beschreiben: Term 1 ((-16)^(1/4))^2 ist nicht lösbar, denn man kann aus einer negativen Zahl keine geradzahlige Wurzel ziehen. Term 2 ((-16)^2)^(1/4) ist lösbar, denn zuerst wird (-16) quadriert und somit positiv, und anschließend wird die 4. Wurzel aus der positiven Zahl 16^2 gezogen. Das Problem ist, daß man beide Terme mit Hilfe des Potenzgesetzes so umformen kann, daß sie scheinbar gleich sind (was aber nicht stimmt): Term 1: ((-16)^(1/4))^2 = (-16)^(1/4 x 2) = (-16)^(2/4) = (-16)^(1/2), also die Quadratwurzel aus -16. Term 2: ((-16)^2)^(1/4) = (-16)(2 x 1/4) = (-16)^(2/4) = (-16)^(1/2) Also ebenfalls die Quadratwurzel aus -16. Die Quadratwurzel aus -16 ist nicht lösbar. Schreibt man sie aber wie in Term 2 auf der linken Gleichungsseite als ((-16)^2)^(1/4), scheint sie doch lösbar zu sein? Irgendwo hat sich hier ein Denkfehler versteckt. Viele Grüße Elmar |
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| 23.04.2017, 16:02 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurz und knapp: Die Potenzgesetze gelten nur für positive Basen. |
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| 23.04.2017, 16:07 | G230417 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Potenzgesetz- Wurzelterm Potenz bindet stärker als Multiplikation. [(-16)^2]^(1/4) = [(-16)*(-16)]^(1/4)= (-16)^(1/4)*(-16)^(1/4) Aus negativenZahlen kann man keine geraden Wurzeln ziehen. |
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| 23.04.2017, 16:17 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Potenzgesetz- Wurzelterm Guten Tag,
Durch das Erweitern hast Du quadriert und damit hast Du Dir den Fehler eingehandelt: -3 = 3 ist sicherlich eine falsche Aussage. Beide Seiten quadriert ergibt 9 = 9 was sicherlich wahr ist. ... und beachte (immer!) Helferleins Hinweis. |
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| 23.04.2017, 16:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Etwas vorsichtiger formuliert: Die Potenzgesetze gelten i.a. nicht für negative Basen in Kombination mit nicht ganzzahligen Exponenten. Denn es gibt auch einen Geltungsbereich der Potenzgesetze für negative, bzw. sogar allgemein komplexe Basen ungleich Null, sofern die Exponenten ganzzahlig sind - allerdings ist dies für die vorliegende Frage irrelevant. 
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| 25.04.2017, 07:36 | Brummkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank an Euch alle, Ihr habt mir sehr weiter geholfen 
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