Nullfolge zeigen für erste & zweite Norm

24.04.2017, 11:17

dubbox

Nullfolge zeigen für erste & zweite Norm

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{pmatrix} \tfrac{n}{n^2+1} \\ \tfrac{8n}{2n^2+2} \\ \tfrac{5}{n^3+n} \end{pmatrix},n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit der 1-Norm eine Nullfolge ist. (Betragsnorm)

Gilt diese Aussage ebenfalls bezüglich der 2-Norm? (Euklidische Norm)

Meine Ideen:
Also man erkennt das die Nenner die Zähler schnell überholen und so wohl die Beträge gegen Null gehen. Ich probiere hier mal für die 1-Norm einen Beweis.

$\begin{eqnarray*} |\tfrac{n}{n^2+1}| + |\tfrac{8n}{2n^2+2}| + |\tfrac{5}{n^3+n}| =|\tfrac{n}{n^2+1}| + |\tfrac{16n}{n^2+1}| + |\tfrac{5n}{n^2+1}| \leq|\tfrac{22n}{n^2+1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich vor dem Problem, das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf eine Seite zu bekommen. Kann ich die Konvergenz hier auch anders zeigen, oder übersehe ich etwas? Denn das selbe Problem tut sich mir auch bei der 2-Norm auf, wobei hier auch eine Konvergenz sein sollte mit dem Grenzwert Null.

24.04.2017, 11:23

IfindU

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Wie wäre es mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^2 + 1 \geq n^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ein größeres Problem hast du aber bei der ersten Gleichung: Du darfst Faktoren aus dem Nenner nicht einfach in den Zähler schreiben und behaupten alles bleibt gleich.

24.04.2017, 11:33

dubbox

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Zitat:

Wie wäre es mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} n^2 + 1 \geq n^2 \end{eqnarray*}$ ?

Also dann

$\begin{eqnarray*} |\tfrac{22n}{n^2+1}| \leq |\tfrac{22n}{n^2} |= \tfrac{22}{n} < \epsilon \Rightarrow \tfrac{22}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$ würde das so stimmen?

24.04.2017, 11:38

klarsoweit

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RE: Nullfolge zeigen für erste & zweite Norm
Abgesehen davon, daß der Term falsch ist, aber muß da jetzt Epsilontik betrieben werden oder kann man nicht direkt sagen, daß $\begin{eqnarray*} |\tfrac{22n}{n^2+1}| \end{eqnarray*}$ gegen Null läuft?

24.04.2017, 11:40

dubbox

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Zitat:

Muß da jetzt Epsilontik betrieben werden oder kann man nicht direkt sagen, daß $\begin{eqnarray*} |\tfrac{22n}{n^2+1}| \end{eqnarray*}$ gegen Null läuft?

Da bin ich mir eben nicht genau sicher, da wir nur zeigen sollen, dass es eine Nullfolge ist. Mit Epsilon ist man wohl auf der sicheren Seite, falls man das so machen kann. Den Beweis der Konvergenz haben wir bisher fast immer über epsilon betrieben

24.04.2017, 11:52

IfindU

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Die Rechnung in deinem zweiten Post stimmt, aber wie ich schon sagte ist die Rechnung, die zu dem Ausdruck führt, falsch.

24.04.2017, 12:01

dubbox

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$\begin{eqnarray*} |\tfrac{n}{n^2+1}| + |\tfrac{8n}{2n^2+2}| + |\tfrac{5}{n^3+n}| =|\tfrac{n}{n^2+1}| + |\tfrac{8n}{2(n^2+1)}| + |\tfrac{5}{n(n^2+1)}| \leq|\tfrac{n}{n^2+1}| + |\tfrac{8n}{n^2+1}| + |\tfrac{5}{n^2+1}| \leq|\tfrac{9n +5}{n^2+1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da habe ich mist gebaut Big Laugh

Darf ich das denn so dann angehen?

24.04.2017, 12:22

IfindU

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Das ist richtig. Übrigens sind alle Ausdrücke positiv -- die vielen Betragsstriche hättest du dir auch sparen könne.

24.04.2017, 12:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
Darf ich das denn so dann angehen?

Ein bißchen ungewöhnlich (beim 2. Bruch hätte ich eher das Kürzen durch 2 in Erwägung) gezogen, aber prinzipiell ok. Allerdings ist für mich nach wie vor die Frage, ob es in der Aufgabe nicht eher um etwas anderes geht, als Epsilontik zu betreiben. verwirrt

24.04.2017, 12:47

dubbox

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Zitat:

Das habe ich mir eben auch gedacht. Ich kenne nur nicht die genaue Beweisführung dann. Im prinzip kann man doch auch soetwas in der Art aufstellen.

$\begin{eqnarray*} x_n = |\tfrac{n}{n^2+1}|<br /> y_n = |\tfrac{8n}{2n^2+2}|<br /> z_n= |\tfrac{5}{n^3+n}| \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt ja $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n =\lim_{n \to \infty} y_n =\lim_{n \to \infty} z_n = 0 \end{eqnarray*}$ wobei ich das wohl genauer zeigen muss.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (x_n+y_n+z_n) = 0 \Leftrightarrow\lim_{n \to \infty}||a_n||_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt{ ((x_n)^2+(y_n)^2+(z_n)^2)} = 0 \Leftrightarrow\lim_{n \to \infty}||a_n||_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ginge das ganze auch so?

24.04.2017, 12:52

IfindU

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Das braucht die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Elementarer wäre $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \leq (a + b)^2 \end{eqnarray*}$ zu benutzen, um direkt eine Abschätzung zu bekommen.

Edit: Ich sollte anmerken, dass es nur gilt, wenn $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ das gleiche Vorzeichen haben.

24.04.2017, 12:56

dubbox

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Meinst du für den zweiten Teil?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt{ ((x_n)^2+(y_n)^2+(z_n)^2)} \leq \lim_{n \to \infty}\sqrt{(x_n+y_n+z_n)^2} =\lim_{n \to \infty}x_n+y_n+z_n = 0 \Leftrightarrow\lim_{n \to \infty}||a_n||_2 = 0 \end{eqnarray*}$

24.04.2017, 13:00

IfindU

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Genau das meinte ich. Wenigstens sollte man nicht implizit Stetigkeit der Wurzelfunktion benutzen, wenn man mit Epsilons Konvergenzverhalten von Folgen untersucht.

Als kleiner "Ausblick". Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Das impliziert, dass alle Normen darauf äquivalent sind. D.h. wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzgl. der 1-Norm konvergiert, konvergiert sie in allen Normen gegen denselben Grenzwert und trivialerweise umgekehrt. D.h. wenn du Konvergenz im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ untersuchen willst, darfst du dir aussuchen welche Norm dir gerade gut gefällt.

24.04.2017, 13:03

dubbox

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Okay vielen Dank für eure Hilfe!!

Genau diesen Satz muss ich jetzt in der nächste Aufgabe beweisen. Aber ich habe keine Ahnung wie Big Laugh

Werde ich mich jetzt mal dran setzen. Eventuell ein kleiner Tipp wie ich das angehen kann, bzw. muss ich eher zeigen dass
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}a_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty}||a_n|| = ||a|| \end{eqnarray*}$ ?

Und gibt wie beweise ich mathematisch korrekt, dass $\begin{eqnarray*} x_n,y_n,z_n = 0 \end{eqnarray*}$ ? Ich weiß es gibt diese Regeln mit dem, was wie schnell wächst und so erkennt man, das der Nenner schneller wächst als der Zähler und das ganze auf Null herrausläuft aber muss ich dazu noch etwas begründen?
Bzw. kann ich es so begründen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{n} \geq x_n,y_n,z_n \geq 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}x_n,y_n,z_n = 0 \end{eqnarray*}$

24.04.2017, 13:13

IfindU

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Als Tipp: Üblicherweise zeigt man, dass jede Norm äquivalent zur Supremumsnorm ist und ist umgekehrt. Es ist nicht wichtig diese zu nehmen, aber offenbar die angenehmste für den Beweis.

Und das wäre eine nette Begründung ja. Kannst es ja solange begründen, bis du das Gefühl hast, dass es so offensichtlich ist, dass es eine Beleidigung des Lesenden ist, diese lesen zu müssen -- passiert schneller als man denkt Big Laugh

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