Erwartungswert EXP(Z) mit Z Normalverteilt

24.04.2017, 13:34	NichtRegUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert EXP(Z) mit Z Normalverteilt Es sei Z eine stetige Zufallsgröße mit $\begin{eqnarray} Z ~ N(-3,\frac{9}{4}). \end{eqnarray}$ Ferner seien $\begin{eqnarray} X_1 := F(Z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 := G(Z) \end{eqnarray}$ mit F und G stetig, streng monoton wachsende Funktionen. Berechne $\begin{eqnarray} E(X_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X_1 X_2) \end{eqnarray}$ für F(x) = exp(x) und G(x) = exp(2x) Einen schönen Tag auch. Ich habe null Plan. Kann mehr wer sagen, wie ich hier vorgehen soll? Bzw. ich verstehe nicht, wie man die Funktionen mit Z in Verbindung bringen soll. $\begin{eqnarray} G(t) = 1- exp(-\alphat) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} G(2t) = 1- exp(-\alpha2t) \end{eqnarray}$ Allgemein hat G(t) den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \end{eqnarray}$ Den ERwartungswert kann ich bei Z direkt ablesen, der ist - 3. Und dann einsetzen?? Ne....das ist alles Quatsch Wer mag mich auf den richtigen Weg bringen?
24.04.2017, 13:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, es geht um $\begin{align} E(X_1) = E(\exp(Z)), E(X_2) = E(\exp(2Z)) \end{align}$ sowie $\begin{align} E(X_1X_2)= E(\exp(Z)\exp(2Z)) = E(\exp(3Z)) \end{align}$ . Berechnen wir also gleich in einem Aufwasch $\begin{align} E(\exp(aZ)) \end{align}$ für beliebige reelle $\begin{align} a \end{align}$ : $\begin{align} E(\exp(aZ)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(az) \exp\left( - \frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) ~ \dd z \end{align}$ , hier speziell bei dir für $\begin{align} \mu=-3,\sigma^2=\frac{9}{4} \end{align}$ , aber ich würde an deiner Stelle erstmal solange wie möglich mit allgemeinem $\begin{align} \mu,\sigma \end{align}$ weiterrechnen. Tipp: Als erstes mal innerhalb der Exponentialfunktion des Integranden quadratisch ergänzen! EDIT: Siehe auch Logarithmische Normalverteilung, denn um nichts anderes handelt es sich hier: Aus $\begin{align} Z\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align}$ folgt $\begin{align} aZ\sim\mathcal{N}(a\mu,a^2\sigma^2) \end{align}$ und damit dann $\begin{align} \exp(aZ)\sim\mathcal{LN}(a\mu,a^2\sigma^2) \end{align}$ .
24.04.2017, 18:41	NichtRegUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag HAL 9000 ! ganz lieben Dank für die Lösung. Die streng wissenschaftliche Herleitung übersteigt ein wenig meine Kompetenz, mit deinen Erklärungen kann ich die Aufgabe allerdings lösen. Vielen Dank. $\begin{eqnarray} E(X) = exp (\mu+\sigma^2 0.5) \end{eqnarray}$ laut deinem Link für die LN-Verteilung, wäre für exp(3Z) beispielweise $\begin{eqnarray} E(3Z) = exp (3\mu+3^2 0.5 * \sigma^2 ) = exp(3(-3)+9\frac{9}{42}) = exp(-9 + \frac{81}{8}) \end{eqnarray}$

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