Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen

24.04.2017, 21:50

ms20

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Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgaben (siehe Bild).
Ich soll die Funktion überprüfen ob die an der stelle 0 Stetig fortsetzbar ist.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre Re(z) durch x zu ersetzen und z durch z= x+iy ist das ein guter Ansatz ?

24.04.2017, 23:02

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RE: Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen
Offen gesagt ist das überhaupt kein Ansatz sondern stumpfes einsetzen der Definition unglücklich

unglücklich

Bei derlei Aufgaben ist es oft zielführend, sich dem in Rede stehenden Punkt, hier also der 0, auf verschiedenen Wegen zu nähern.

24.04.2017, 23:48

Ms20

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RE: Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen
Also soll ich den links und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion ausrechnen ?

Das wäre doch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{x}{(x+iy)} \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} \frac{x}{(x+iy)} \end{eqnarray*}$

Mhh aber was bringt mir das

24.04.2017, 23:54

Ms20

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RE: Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen
Hmm ich habe jetzt nochmal überlegt das heisst doch nichts anderes als wenn der links und rechtsseitige Grenzwert existiert und die gleich sind dann kann es eine Stetige Fortsetzung geben oder? verwirrt

verwirrt

25.04.2017, 18:31

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RE: Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen
Du musst den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\to 0 \end{eqnarray*}$ untersuchen, betrachtest aber nur $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ und vernachlässigst dabei den Imaginärteil von z.
Du bist in der komplexen Ebene, da gibt es mehr als nur rechts und links.

25.04.2017, 19:32

Ms20

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RE: Stetige Fortsetzung von komplexen Funktionen
Das stimmt verwirrt

verwirrt

Also bringt es nichts wenn ich Links und Rechtsseitige Grenzwert überprüfe.
Wie sollte ich es sonst angehen verwirrt

verwirrt

Wenn ich Re(z) ersetze durch x dann steht ja x/z wenn ich jetzt z gegen 0 Laufen lassen würde dann müsste ich ja auch x gegen 0 laufen lassen da x ja ein teil von z ist oder verstehe ich was falsch?

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25.04.2017, 20:23

Leopold

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Betrachte Folgen $\begin{align*} (z_n) \end{align*}$ , die Glieder in Real- und Imaginärteil zerlegt: $\begin{align*} z_n = x_n + \operatorname{i} y_n \end{align*}$

Und $\begin{align*} z_n \to 0 \end{align*}$ ist nun gleichbedeutend damit, daß simultan $\begin{align*} x_n \to 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} y_n \to 0 \end{align*}$ gilt.

Beispiele für Nullfolgen:

1. $\begin{align*} x_n = \frac{1}{n} , \ y_n = 0 \end{align*}$

2. $\begin{align*} x_n = 0 , \ y_n = \frac{1}{n} \end{align*}$

3. $\begin{align*} x_n = - \frac{1}{n^2} , \ y_n = \frac{2}{n} \end{align*}$

4. $\begin{align*} x_n = \operatorname{2}^{-n} , \ y_n = \frac{2}{n^2} \end{align*}$

Und ganz viele viele weitere ...

Wenn $\begin{align*} f(z_n) \end{align*}$ für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ bei all diesen Folgen denselben Grenzwert hat, besteht der Verdacht, daß die Funktion stetig ergänzbar ist. Es müßte dann ein Beweis dafür gefunden werden, der von der speziellen Gestalt der Nullfolge unabhängig ist.
Wenn sich bei zwei Folgen jedoch verschiedene Grenzwerte ergeben, bist du schon fertig: Die Funktion wäre dann nicht stetig ergänzbar.

25.04.2017, 20:52

ms20

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Ich verstehe das ist das Folgenkriterium übertragen auf die Komplexen Zahlen:

f(z) ist genau dann Stetig im Punkt a wenn der Real und Imaginärteil im Punkt a stetig sind dazu muss der Grenzwert existieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{Re(z)}{z} = \frac{x}{z} = \frac{x}{x+iy}=\frac{1}{1+\frac{iy}{x} } \end{eqnarray*}$

Nun wähle $\begin{eqnarray*} x_{n} := \frac{1}{n} , y_{n} :=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ dann kommt als ergebnis 1/2 raus.

aber wenn man $\begin{eqnarray*} x_{n} := \frac{1}{n} , y_{n} :=0 \end{eqnarray*}$ dann kommt als Ergebnis 1 raus also kann es keinen Grenzwert geben oder ?

25.04.2017, 20:55

ms20

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oder man kann auch die 2 Folgen nehmen die du hingeschrieben hast die ersten 2

25.04.2017, 23:00

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Das war die Idee, als ich schrieb, du sollst dich der 0 auf verschiedenen Wegen nähern: Einmal auf der rellen Achse, dort ist f(z)=1, dann auf der imaginären Achse, dort ist f(z)=0. Damit bist du schon fertig.

26.04.2017, 01:02

Ms20

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Ok gut danke Freude

Freude

Wie könnte ich bei so einer Funktion vorgehen?

26.04.2017, 21:16

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Wir haben dir oben ein paar Anregungen gegeben. Welche davon hast du benutzt und warum hat es nicht geklappt?

27.04.2017, 23:09

ms20

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Doch habs jetzt :

Wenn ich xn=1/2n und yn=0 wähle kommt 1 raus und xn=0,yn=1/3n kommt -1 raus also nicht Stetig Fortsetzbar oder ?

Zum schluss hätte ich noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} e^-(\frac{1}{z^{2}} ) \end{eqnarray*}$ dazu habe ich mir folgende Abschätzung überlegt:

$\begin{eqnarray*} e^-z^{2}\leq e^-(\frac{1}{z^{2}} ) \leq e^-({\frac{1}{2}*\frac{1}{z^{2}}}) \end{eqnarray*}$ und da ganz Links und Rechts die Potenzen gegen -unendlich gehen muss der Grenzwert 0 sein. Also auch von unserer funktion und mit der Abschnitsweise definierten Funktion wäre diese Stetig Ergänzbar:

z=0 0

z ungleich 0 $\begin{eqnarray*} e^-(\frac{1}{z^{2}} ) \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

27.04.2017, 23:38

Leopold

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Zitat:

Original von ms20
Wenn ich xn=1/2n und yn=0 wähle kommt 1 raus und xn=0,yn=1/3n kommt -1 raus also nicht Stetig Fortsetzbar oder ?

Ich vermute, du meinst $\begin{align*} x_n = \frac{1}{2n} \end{align*}$ und nicht, wie du geschrieben hast, $\begin{align*} x_n = \frac{1}{2}n \end{align*}$ . Analog $\begin{align*} y_n \end{align*}$ bei der zweiten Folge.

Ich bekomme da andere Werte heraus. Darüber hinaus ist 0 nicht die einzige Definitionslücke. Es gibt ja eine ganze Gerade voller Lücken.

28.04.2017, 00:08

Ms20

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Mhh ok was soll ich dann machen ?

Ist wenigstens die andere Aufgabe richtig ?

28.04.2017, 06:23

Leopold

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Zitat:

Original von Ms20
Mhh ok was soll ich dann machen ?

Schreib die Funktion für $\begin{align*} z = x + \operatorname{i}y \end{align*}$ erst einmal in $\begin{align*} x,y \end{align*}$ . Zur Kontrolle:

$\begin{align*} f(z) = \frac{5x - \operatorname{i}y}{2x+3y} \end{align*}$

Zitat:

Original von Ms20
Ist wenigstens die andere Aufgabe richtig ?

Nein, das ist von vorneherein falsch, weil es in $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ überhaupt kein größer oder kleiner gibt.

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