Extrema unter "=" Nebenbedingungen

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema unter "=" Nebenbedingungen
Hey Leute,

Kann es sein, dass man bei der Extremwertberechnung mit Gleichungsnebenbedingungen durch das Einsetzverfahren Lösungen verliert, die man durch die Lagrange Methode hätte finden können?

Liebe Grüße smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Methode wird bei Funktionen in einer (unabhängigen) Variablen angewandt.
Bei korrekter Bearbeitung verliert man natürlich keine Lösungen.
In komplexeren Fällen (mehrere Variablen, mehrere Nebenbedingungen) kommt das Lagrange-Verfahren zur Anwendung.
Dabei kann es durchaus mehrere Lösungen geben, welche nicht alle zutreffen. Daher sind diese noch einer gesonderten Überprüfung zu unterziehen!
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Bitte antworte zum Abschluss doch auch in deinem anderen Thema!
Das gehört zur Netiquette (Höflichkeit in einem Forum)!
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Du "zeichnest dich nämlich dadurch aus", dass - wie auch in anderen deiner Beiträge zu sehen - , nach erhaltener Hilfe grundsätzlich keine Antwort mehr von dir kommt.
Hier sind aber keine Maschinen oder Sklaven, sondern Menschen wie du und ich .. Augenzwinkern

mY+
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versteh ich aber nicht, was bei folgender Aufgabe schief läuft: Suche alle Extrema der Funktion bezüglich der Nebenbedingung .

Die Nebenbedingung in die Zielfunktion einzusetzen liefert die Kandidaten und .

Die Lagrange Methode liefert ebenfalls diese beiden Kandidaten und zusätzlich noch . Die zu dieser Lösung gehörende geränderte Hessematrix lautet:
. Da die Determinante dieser Matrix gleich -1 beträgt, handelt es sich um ein lokales Minimum. Also eine Extremstelle, die beim Einsetzen der Nebenbedingung verloren gegangen ist.

Was habe ich falsch gemacht oder nicht beachtet?

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Nach beantworteter Frage antworte ich immer nicht, um nicht eurer wertvolles Forum mit erledigten Beiträgen zuzuspammen, da diese ja wieder ganz oben erscheinen. Aber aus Höflichkeit werde ich das ab sofort tun, bis euer Programmierer eine "Erledigt" Funktion eingebaut hat smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3. Lösung lautet (-1; 0), nicht (1; 0)
Dies folgt eben aus der Nebenbedingung, mit y = 0 (daher ist das negative Vorzeichen für x3 nicht zutreffend.

mY+
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Verzeihung, da war die Hand schneller als der Kopf. Genauso falsch ist die geränderte Hessematrix. Die lautet nämlich für diesen Punkt richtig:

. Die Determinante beträgt 4 und damit ist der Punkt ein lokales Maximum. Dennoch fällt diese Lösung beim Einsetzverfahren raus. Warum? Es scheint ja ein Extremum zu sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist ein (lokales) Maximum.
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Das "Einsetzverfahren" direkt anzuwenden, kann bei Funktionen von mehreren Variablen problematisch werden. Hier z.B. so




...
usw.

Ein Fehler ist es, wenn die Funktion z = f(x,y) nur nach x abgeleitet wird (Lösg. --> x = -1/2).
Man darf jedoch auch die Ableitung nach y nicht vergessen:
....

...
Dabei ist dann u.a. auch die noch vermisste Lösung (y = 0, x = ..).
Wie es Wolfram berechnet:

[attach]44337[/attach]

Dabei dürfte das zweite lokale Maximum sicherlich falsch sein (auf einem Rundungsfehler beruhen).

mY+
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Traumhaft, Danke! smile

--- Beitrag geschlossen ---
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön!

Aber wir schließen hier normalerweise keine Beiträge, auch wenn der Thread schon erledigt ist.
Es genügt, wenn du schreibst, dass für dich so weit alles klar ist und/oder die Hilfe angekommen ist Augenzwinkern

mY+
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Erklärung ist die folgende: Die Optimierung von auf ist NICHT äquivalent zu mit der Nebenbedingung . Das Problem ist hingegen äquivalent zur Optimierung von auf . Die liegt am Rand des zu untersuchenden Definitionsbereich, und da greift die Ableitung nicht.

Nun zur sicher aufkommenden Frage: Warum das "seltsame" Definitionsgebiet. Das hängt damit zusamnmen, dass für alle . Damit ist und damit , also . Diese Bedingung darf nicht vergessen werden. Für die anderen findet man kein , was die Nebenbedingung erfüllen kann,] und somit hat nicht viel mit zu tun.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Eine super Ergänzung, vielen Dank dafür! Jetzt drängt sich mir natürlich die nächste Frage auf...

Wenn die Nebenbedingung eine Ebenengleichung wäre, die den Paraboloiden so schneidet, dass eine Ellipse ist, dann könnte ich mit dem Satz von Weierstraß argumentieren, dass die Funktion (auf diesem Kompaktum) ihr globales Minimum und globales Maximum annimmt. Woher weiß ich jedoch rechnerisch, wann es sich um eine kompakte Menge handelt und wann nicht? Einfach wann ich mit dem Satz die Existenz solcher Extrema begründen kann.

Edit: Bei dem oberen Beispiel scheint es ja wohl nicht der Fall zu sein.
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