Lineare Algebra: Basis

25.04.2017, 13:09	Narutachuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra: Basis Meine Frage: Guten Tag. Hier mal eine Frage mit weniger rechnen, dafür mehr Beweis. die Aufgabe lautet: Sei V ein Vektorraum, und B eine Basis davon. Zeige, dass es genaue eine Möglichkeit gibt einen Vektor $\begin{eqnarray} v\in V mit v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}...+a_{n}v_{n} \end{eqnarray}$ zu schreiben. Rechnen und nachvollziehen von Gedankengängen funktioniert mehr oder weniger gut. Jedoch habe ich große Probleme bei solch abstrakten Dingen. Wie immer vielen Dank für eure Hilfe! Meine Ideen: Leider habe ich keine Großartigen ideen. Brauche eure Hilfe! Q_Q
25.04.2017, 13:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nicht abstrakt. Ein Vektorraum und eine Basis sind außerordentlich konkrete Dinge. Mache einen Beweis durch Widerspruch. Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Vektorraum, $\begin{eqnarray} B=\{v_1,...v_n\} \end{eqnarray}$ Basis, $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ Annahme: (a) $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ lässt sich nicht so darstellen. Zeige: $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist keine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ lässt sich auf zwei verschiedene Arten so darstellen. Zeige: $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist keine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Du musst nur wissen, was eine Basis ist.
25.04.2017, 13:45	Narutachuu	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Basis war doch ein Erzeugendensystem von V mit linear unabhängigen Vektoren oder?
25.04.2017, 13:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt.
25.04.2017, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und (a) und (b) stehen im Widerspruch zu diesen beiden Eigenschaften einer Basis. Das zeigst du nun und bist fertig.

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