Indirekter Beweis für Irrationalität der Wurzel 2... mal wieder

25.04.2017, 21:20	nikey	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis für Irrationalität der Wurzel 2... mal wieder Meine Frage: Hallo, ich habe Schwierigkeiten die "logische Herleitung" für den indirekten Beweis, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ irrational ist, nachzuvollziehen. Die bisher zu diesem Thema gestellten Fragen konnten mir leider nicht helfen. Bei der Ausführung wird jetzt angenommen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ rational ist um einen Widerspruch herzuleiten. Grundsätzlich ist mein Gehirn noch nicht in der Lage folgendes zu verstehen: Es wird jetzt einfach behauptet, dass a/b vollständig gekürzt ist, die Annahme wird widerlegt und dadurch ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ jetzt irrational? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{2} = \frac{a}{b}<br /> <br /> \Rightarrow 2 = \frac{a^2}{b^2}<br /> <br /> \Rightarrow 2b^2 = a^2<br /> <br /> \Rightarrow (2 \| a)<br /> <br /> \Rightarrow (4 \| a^2)<br /> <br /> \Rightarrow (4 \| 2b^2)<br /> <br /> \Rightarrow (2 \| b^2)<br /> <br /> \Rightarrow b is even<br /> \end{eqnarray}$
25.04.2017, 21:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird nicht behauptet, sondern verlangt. Ein Bruch kann schließlich nicht unendlich oft durch eine Zahl größer eins gekürzt werden. Zu jedem Bruch gibt es also ein entsprechenden, vollständig gekürzten Repräsentanten. Wir wissen also, dass ein solcher Bruch existiert. Im Verlaufe des Beweises wird nun gezeigt, dass dieser - wenn er existiert - doch kürzbar ist, was ja nicht sein kann, da er bereits vollständig gekürzt ist. Es ergibt sich also ein Widerspruch, so dass die Annahme der Existenz bereits falsch sein muss.
25.04.2017, 22:00	hasso069	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indirekter Beweis für Irrationalität der Wurzel 2... mal wieder Hi, $\begin{eqnarray} 2b^{2}=a^{2} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} 2b^{2} \end{eqnarray}$ eine Gerade Zahl ist muss auch $\begin{eqnarray} a^{2} \end{eqnarray}$ also auch a eine Gerade Zahl sein. Ferner Gilt: Da a eine Gerade Zahl ist lässt sich a darstellen als $\begin{eqnarray} a= 2r \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 2b^{2}=(2r)^{2}= 4r^{2} \end{eqnarray}$ das ganze durch 2 teilen ergibt $\begin{eqnarray} b^{2}=2r^{2} \end{eqnarray}$ Mit der selben argumentation folgt das b^2 und dann auch b eine gerade zahl ist. Also da a und b durch 2 teilbar sind erhalten wir einen wiederspruch zur teilerfremdheit, Also kann wurzel 2 nicht rational sein und muss Irr. sein.

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