Zeige, dass ein bestimmter komplexer Term eine reelle Zahl ergibt

26.04.2017, 17:18	Svea21	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass ein bestimmter komplexer Term eine reelle Zahl ergibt Meine Frage: Hallo! Ich hänge grad bei einer Aufgabe fest und würde mich über eure Hilfe dabei sehr freuen! Aufgabe: Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \in \left\{ z\in \mathbb C : z^{2n} \neq -1 , \|z\| = 1 \right\} \end{eqnarray}$ der Term $\begin{eqnarray} \frac{z^n}{1+z^{2n}} \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl ist. Meine Ideen: Hab mir dazu überlegt das nach vorraussetzung der gegebenen Menge aus der z ist, ja für z gelten muss dass: $\begin{eqnarray} 1= \|z\| = \sqrt{z\bar{z}} \Leftrightarrow z\bar{z}=1 \Leftrightarrow z = \frac{1}{\bar{z}} \end{eqnarray}$ Und ja wir hatten vorher nur Aufgaben wo die komplexen zahlen im Nenner keinen exponenten hatten und dann konnte man einfach $\begin{eqnarray} z = x+iy \end{eqnarray}$ nutzen um so umzuformen $\begin{eqnarray} z + 1= (x+iy)+1 = (x+1)+iy \end{eqnarray}$ und dann halt mit binomischen Formeln (dran multiplizieren des selben Terms mit "-") das i aus dem Nenner zu bekommen, aber hier geht dies ja nicht so einfach, also es gilt ja $\begin{eqnarray} 1 +(x+iy)^{2n} \neq ((x+1)+iy)^{2n} \end{eqnarray}$ Also klar ist das $\begin{eqnarray} \frac{z^n}{1+z^{2n}}= \frac{(x+iy)^{n}}{1 +(x+iy)^{2n}} = \end{eqnarray}$ nun weiß ich hier nicht wirklich weiter, mir fehlt wohl der entscheidene trick um den Nenner hier vom i zu befreien :/
26.04.2017, 21:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schönes Beispiel! Eine Weile musste ich schon überlegen und einige Ansätze verwerfen. Einer scheint erfolgversprechend, nämlich der Übergang auf die trigonometrische Schreibweise. $\begin{eqnarray} \frac {z^n}{1+z^{2n}} = \frac{\cos n\varphi + i \sin n\varphi}{1 + \cos 2n\varphi + i \sin 2n\varphi} \end{eqnarray}$ Dies - nach Moivre - gilt deswegen, weil laut Voraussetzung $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ und daher auch $\begin{eqnarray} \|z^n\| = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|z^{2n}\| = 1 \end{eqnarray}$ ist. Wenn wir nun den Nenner reell machen, indem bekanntermaßen mit dem Komplement erweitert wird, haben wir danach nur noch den (erweiterten) Zähler zu begutachten. Und im Weiteren auch nur noch dessen Imaginärteil, denn dieser muss Null sein. Mit den Mitteln der Trigonometrie gelingt denn auch dieser Nachweis. ------------------- Vielleicht kurz ein Anriss: Zähler $\begin{eqnarray} z_e \end{eqnarray}$ , erweitert: $\begin{eqnarray} z_e = (\cos n\varphi + i \sin n\varphi)(1+\cos 2n\varphi - i \sin 2n\varphi) = ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak{Im}(z_e) = \sin n\varphi + \sin n\varphi \cos 2n\varphi - \cos n\varphi \sin 2n\varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak{Im}(z_e) = 0 \end{eqnarray}$ mY+
26.04.2017, 21:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast völlig korrekt erkannt: $\begin{align} \frac{1}{z} = \bar{z} \end{align}$ . Das kannst du noch in die $\begin{align} n \end{align}$ -te Potenz erheben. Wenn du die Verträglichkeit der Konjugation mit der Multiplikation beachtest, folgt: $\begin{align} \frac{1}{z^n} = \overline{z^n} \end{align}$ Und jetzt mußt du nur den vorgegebenen Bruch durch $\begin{align} z^n \end{align}$ kürzen und die letzte Gleichung beachten. Eine Rechnung in $\begin{align} x,y \end{align}$ ist völlig überflüssig und verdunkelt den Sachverhalt statt ihn zu erhellen.
26.04.2017, 22:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold, ja, noch besser! Damit ist der Beweis nicht einmal ein Einzeiler! mY+
27.04.2017, 09:26	Svea21	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank euch für die Tipps! @Leopold genau denselben Ansatz hatte ich auch erst verfolgt, nur an die Verträglichkeit der Konjugation mittels Multiplikation hab ich garnicht gedacht Danke

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