Konvergiert das Integral?

26.04.2017, 18:07

Connor

Konvergiert das Integral?

Meine Frage:
Hi, in einem Übungszettel sollen wir mehrere Integrale auf Konvergenz untersuchen, und im Falle der Konvergenz den Grenzwert ausrechnen.
Dabei hänge ich gerade bei diesem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \arctan { (x)\log { x } } }{ { x }^{ 3 } } } \end{eqnarray*}$

Ich wüsste gerade nicht, wie ich das Integral galant lösen kann.
Ich schätze einfach, dass das Integral gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht, also nicht integriert, aber wie kann ich das rechnerisch zeigen?
Ist die einzige Möglichkeit partielle Integration?
Damit fing ich schon an, aber das wären endlos lange Zwischenrechnungen, wovon ich wegen der Schwere der anderen Aufgaben nicht ausgehe.
Gibt es auch andere Wege hierfür?

26.04.2017, 18:31

Connor

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Ich konnte die Aufgabe jetzt doch selbst lösen. Sehe nur gerade keine Möglichkeit den Thread zu löschen Big Laugh

26.04.2017, 18:35

HAL 9000

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RE: Konvergiert das Integral?

Zitat:

Original von Connor
Ich schätze einfach, dass das Integral gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht, also nicht integriert, aber

Rcihtig. Eine weitere Möglichkeit wäre diese:

Der Integrand ist im gesamten Integrationsgebiet wegen $\begin{align*} \ln(x)<0 \end{align*}$ für $\begin{align*} 0<x<1 \end{align*}$ durchgehend negativ. Außerdem gilt dort auch $\begin{align*} \arctan(x)>\frac{\pi}{4}x \end{align*}$ ,

so dass $\begin{align*} \frac{\pi}{4}\int\limits_0^1 \frac{-\ln(x)}{x^2} ~ \dd x \end{align*}$ eine Minorante für $\begin{align*} \int\limits_0^1 \frac{\arctan(x)\cdot (-\ln(x))}{x^3} ~ \dd x \end{align*}$ ist. Es reicht demnach $\begin{align*} \int\limits_0^1 \frac{-\ln(x)}{x^2} ~ \dd x = \infty \end{align*}$ zu zeigen, was schon erheblich einfacher ist (z.B. ist das geschlossen integrierbar).

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