Spur - komplexe Matrix

26.04.2017, 21:31	Gowri	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur - komplexe Matrix Meine Frage: Hey Ich finde einfach keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und brauche ein wenig Starthilfe... Sei $\begin{eqnarray} A\in M(nxn, IC) \end{eqnarray}$ Matrix, die die Gleichung $\begin{eqnarray} A^{3} = 4A \end{eqnarray}$ erfüllt. Zeige, dass die Spur von A eine gerade ganze Zahl ist. Meine Ideen: Wie gesagt...ich weiss wirklich nicht, wie ich anfangen soll Kann mir jemand helfen?
26.04.2017, 22:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} A^3=4A \end{eqnarray}$ erlaubt Rückschlüsse auf das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Daraus erhält man Einschränkungen an die Eigenwerte, deren Summe die Spur ist.
27.04.2017, 14:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein alternativer Weg ist folgender: ----------------------------------------- Wenn A diagonalisierbar ist, existiert eine Darstellung $\begin{eqnarray} A=SDS^{-1} \end{eqnarray}$ , wobei D eine Diagonalmatrix und S eine reguläre Matrix ist. Einsetzen in $\begin{eqnarray} 4A=A^3 \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} 4SDS^{-1}=SD\underbrace{S^{-1}S}_{1}D\underbrace{S^{-1}S}_1DS^{-1}=SD^3S^{-1} \end{eqnarray}$ Wendet man darauf "von links" die Matrix $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ und "von rechts" die Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ an folgt $\begin{eqnarray} 4D=D^3 \end{eqnarray}$ Auf beiden Seiten stehen Diagonalmatrizen. Deshalb muss für jedes einzelne Diagonalelement $\begin{eqnarray} D_{kk} \end{eqnarray}$ gelten $\begin{eqnarray} 4D_{kk}=D_{kk}^3 \end{eqnarray}$ Umstellen liefert $\begin{eqnarray} D_{kk}\cdot (D_{kk}-2)\cdot (D_{kk}+2)=0 \end{eqnarray}$ Edit(Helferlein): Komplettlösung ab hier gelöscht, da nach wie vor nicht erwünscht

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