Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten

27.04.2017, 17:29

Guzzy

Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten

Meine Frage:
Ich habe ein Viereck (siehe Skizze).

Die Diagonale F teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Für jedes Dreieck sind alle Seitenlängen und alle Innenwinkel bekannt.

Weiterhin ist ein Punkt P auf der Diagonalen F durch das Verhältnis u/F gegeben.

Gesucht sind die Punkte O und Q, also die Verhältnisse a/E und c/G, so daß gilt: a/b=c/d.

Es ist: a+b=E, u+v=F, c+d=G

Was ist die effizienteste Weise die zu berechnen? Die Methode soll in einem Computerprogramm benutzt werden.

Meine Ideen:
Ich habe schon einiges versucht, komme aber leider nicht weiter.

27.04.2017, 17:54

riwe

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten
ich plädiere für 2x Sinussatz Augenzwinkern

27.04.2017, 18:25

Guzzy

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten
Wie würde das konkret mit dem 2x Sinussatz aussehen?

27.04.2017, 23:08

riwe

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten

Zitat:

Original von Guzzy
Wie würde das konkret mit dem 2x Sinussatz aussehen?

da es in einem Programm rattern soll und ich - zumindest mit meinem Ansatz - fürchte, dass es eh nicht geschlossen oder unter Grad 4 geht:

mit dem bilderl

$\begin{eqnarray*} x: \lambda\cdot e = sin\sigma : sin(\sigma+\alpha) \end{eqnarray*}$

eine analoge Gleichung gilt für z bzw. y
daraus kann man mit Newton - konvergiert in 2 Zeilen - den Winkel und damit x und y berechnen

27.04.2017, 23:33

Guzzy

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten
Vielen Dank für die Antwort.

Zitat:

Original von riwe
daraus kann man mit Newton - konvergiert in 2 Zeilen - den Winkel und damit x und y berechnen

Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstehe. Wie würde diese Berechnung konkret aussehen?

27.04.2017, 23:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von riwe
da es in einem Programm rattern soll und ich - zumindest mit meinem Ansatz - fürchte, dass es eh nicht geschlossen oder unter Grad 4 geht

Hmm, ich denke, es geht mit Grad 2. Bin aber jetzt zu müde, dann morgen mehr.

28.04.2017, 00:00

riwe

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten

Zitat:

Original von Guzzy
Vielen Dank für die Antwort.

Zitat:

Original von riwe
daraus kann man mit Newton - konvergiert in 2 Zeilen - den Winkel und damit x und y berechnen

Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstehe. Wie würde diese Berechnung konkret aussehen?

möchtset du auch etwas beitragen verwirrt

die Beziehung für x/a steht oben, nun bastle genauso y/c und setze gleich, das ergibt eine Gleichung für den Winkel sigma, daraus folgen x und y

wo happert´s denn bei dir verwirrt

28.04.2017, 00:01

riwe

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von riwe
da es in einem Programm rattern soll und ich - zumindest mit meinem Ansatz - fürchte, dass es eh nicht geschlossen oder unter Grad 4 geht

Hmm, ich denke, es geht mit Grad 2. Bin aber jetzt zu müde, dann morgen mehr.

da freue ich mich

28.04.2017, 01:13

Guzzy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hmm, ich denke, es geht mit Grad 2. Bin aber jetzt zu müde, dann morgen mehr.

Vielen Dank für den Beitrag. Ich bin gespannt auf das Ergebnis.

28.04.2017, 01:16

Guzzy

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RE: Berechnung gleicher Längenverhältnisse auf Viereckseiten

Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von Guzzy
Vielen Dank für die Antwort.

Zitat:

Original von riwe
daraus kann man mit Newton - konvergiert in 2 Zeilen - den Winkel und damit x und y berechnen

Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstehe. Wie würde diese Berechnung konkret aussehen?

möchtset du auch etwas beitragen verwirrt

die Beziehung für x/a steht oben, nun bastle genauso y/c und setze gleich, das ergibt eine Gleichung für den Winkel sigma, daraus folgen x und y

wo happert´s denn bei dir verwirrt

Alles klar. Vielen Dank.

28.04.2017, 09:28

HAL 9000

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Ich fange mal mit einer etwas erweiterten Skizze an:

[attach]44353[/attach]

Gegeben (oder aus dem gegebenen leicht berechenbar) sind: Strecken $\begin{align*} s,t,u,v \end{align*}$ und Winkel $\begin{align*} \mu,\nu \end{align*}$

Gesucht ist: Winkel $\begin{align*} \phi \end{align*}$ so dass $\begin{align*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{align*}$ (dieses gemeinsame Streckenverhältnis nenne ich $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ )

Weitere Hilfswinkel für die Rechnung seien $\begin{align*} \xi:=|\angle AOP| \end{align*}$ und $\begin{align*} \eta:= |\angle CPQ| \end{align*}$ benannt.

Nun zur eigentlichen Rechnung, die wie bei Werner hauptsächlich auf dem Sinussatz fußt:

Es ist $\begin{align*} \sin(\xi) = \frac{u}{a}\sin(\phi) = \frac{t}{b}\sin(\mu-\phi) \end{align*}$ , umgestellt zu

$\begin{align*} \frac{ub}{ta} &= \frac{\sin(\mu-\phi)}{\sin(\phi)} = \frac{\sin(\mu)\cos(\phi)-\cos(\mu)\sin(\phi)}{\sin(\phi)}\\ \frac{u}{t\lambda} &= \sin(\mu)\cot(\phi)-\cos(\mu)\qquad (1) \end{align*}$ .

Völlig analog folgt $\begin{align*} \sin(\eta) = \frac{v}{d}\sin(\phi) = \frac{s}{c}\sin(\nu-\phi) \end{align*}$ , umgestellt zu

$\begin{align*} \frac{vc}{sd} &= \frac{\sin(\nu-\phi)}{\sin(\phi)} = \frac{\sin(\nu)\cos(\phi)-\cos(\nu)\sin(\phi)}{\sin(\phi)}\\ \frac{v\lambda}{s} &= \sin(\nu)\cot(\phi)-\cos(\nu)\qquad (2) \end{align*}$ .

(1)(2) ist nun ein Gleichungssystem für die beide Unbekannten $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ und $\begin{align*} \cot(\phi) \end{align*}$ . Eliminieren wir z.B. zunächst $\begin{align*} \cot(\phi) \end{align*}$ , dann landen wir bei einer quadratischen Gleichung für $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ .

28.04.2017, 22:35

riwe

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sehr schön

edit: hab´s jetzt auch quadratisch - ohne die beiden Strecken RB und DP Augenzwinkern

03.05.2017, 10:03

Guzzy

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Zitat:

Original von riwe
edit: hab´s jetzt auch quadratisch - ohne die beiden Strecken RB und DP

Könntest du uns an deinem Ansatz teilhaben lassen? Vielen Dank.

03.05.2017, 10:08

Guzzy

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Zitat:

Original von HAL 9000
(1)(2) ist nun ein Gleichungssystem für die beide Unbekannten $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ und $\begin{align*} \cot(\phi) \end{align*}$ . Eliminieren wir z.B. zunächst $\begin{align*} \cot(\phi) \end{align*}$ , dann landen wir bei einer quadratischen Gleichung für $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ .

Schöne Lösung. Vielen Dank.

03.05.2017, 11:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von riwe
ohne die beiden Strecken RB und DP Augenzwinkern

Weiß jetzt nicht, was du mit R meinst. verwirrt

Ja, da gibt es natürlich viele Varianten, welche der vielen vorab bekannten Größen des Vierecks ABCD inklusive Position von P auf AC in die Rechnung einfließen. Bei mir sind es $\begin{align*} s,t,u,v,\mu,\nu \end{align*}$ (und dafür keine der vier Vierecksseiten), es sind selbstverständlich auch andere Parameterkombinationen denkbar.

03.05.2017, 11:19

riwe

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Zitat:

Original von Guzzy

Zitat:

Original von riwe
edit: hab´s jetzt auch quadratisch - ohne die beiden Strecken RB und DP

Könntest du uns an deinem Ansatz teilhaben lassen? Vielen Dank.

mit den Bezeichnern von HAL 9000 bzw. meiner obigen Skizze und

$\begin{eqnarray*} \alpha =\sphericalangle{BAP} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma =\sphericalangle{QCP} \end{eqnarray*}$

hat man mit 2x Sinussatz Augenzwinkern

aus $\begin{eqnarray*} u : x =sin(\alpha+\phi):sin\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cot\phi=\frac{u-x\cdot cos\alpha}{x\cdot sin\alpha}=\frac{\frac{u}{a}-\lambda\cdot cos\alpha}{\lambda\cdot sin\alpha} \end{eqnarray*}$

analog auf der anderen Seite:

$\begin{eqnarray*} cot\phi=\frac{\frac{v}{c}-(1-\lambda)\cdot cos\gamma}{(1-\lambda)\cdot sin\gamma} \end{eqnarray*}$

weiter wie angegeben

(hoffentlich alles richtig erinnert Augenzwinkern

)

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