Verkippung Winkelberechnung

27.04.2017, 17:58

mcmuff

Verkippung Winkelberechnung

Meine Frage:
Guten Tag,

ich habe gerade ein Brett vor dem Kopf.
Es geht im Wesentlichem um einen Quader, welcher in einem anderen Quader gekippt werden soll.

Gesucht: Verkippungswinkel

Bekannt:
Breite Quader1 = 99,996 mm
Höhe Quader 1 = 4 mm
Breite Quader1 = 100,035 mm

Aufgrund der Nutzung eines CAD-Programmes weiß ich , dass der maximale Verkippungswinkel 1,44° beträgt. Dieses habe ich zusätzlich noch mit einem Onlinetool abgeglichen; http://www.vision-doctor.com/bv-system-berechnungen/messfehler-bei-bauteilverkippung.html

Jedoch kann mich mir anhand der angegeben Formel nicht herleiten wie das Ganze funktioniert.

Könnte mir jemand eventuell einen Denkanstoß geben oder mir anders weiterhelfen ?

Mfg

Meine Ideen:
+

27.04.2017, 20:29

Steffen Bühler

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RE: Verkippung Winkelberechnung
Betrachte die Diagonale des kleineren Quaders als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Ankathete die Breite des größeren Quaders ist.

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen

27.04.2017, 22:22

mcmuff

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RE: Verkippung Winkelberechnung
Den Versuch habe ich bereits unternommen.
Hier komme ich auf einen Winkel von 2,29°. Das Problem ist hierbei, dass ich die Diagonale des ersten Quaders nicht Parallel zur "Bodenfläche" des zweiten verläuft.

Somit komme ich nicht auf den absoluten Verdrehwinkel

28.04.2017, 00:11

mYthos

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Stimmt, mit der Diagonale sehe ich jetzt auch keinen Weg.
Es sei $\begin{eqnarray*} c = 100.035, a = 99.996 \text{ und } b = 4 \end{eqnarray*}$
Bezeichnet man die kleinen Längen, die durch den Schnitt der Verlängerungen der größeren Rechteckseiten mit den Senkrechten entstehen, mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und beachtet die Symmetrie, so ergeben sich 2 rechtwinkelige Dreiecke.
Das erste hat die Katheten $\begin{eqnarray*} x, b \end{eqnarray*}$ und das zweite die Katheten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und eine zweite (unbekannte) Kathete $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und die Hypotenuse $\begin{eqnarray*} a+x \end{eqnarray*}$
Beide Dreiecken haben den gesuchten Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und sind daher ähnlich.
Skizzen (1. nicht maßstabsgetreu, 2. im Maßstab):

[attach]44349[/attach] [attach]44350[/attach]

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha = \frac x b = \frac y c \ \text{und} \ c^2 + y^2 = (a+x)^2 \end{eqnarray*}$

Eliminiere $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , berechne danach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und letztendlich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

[Quadratische Gleichung, Lösg. mit pos. Wurzel]
$\begin{eqnarray*} \alpha = \text{ rd. } 3.93° \end{eqnarray*}$

mY+

28.04.2017, 08:57

Steffen Bühler

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Gut, ich will mal genauer werden.

Du hast zunächst die unverkippte Situation:

[attach]44351[/attach]

Hier hat die Diagonale einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, den Du ja auch mit 2,29° berechnet hast.

Nun wird verkippt:

[attach]44352[/attach]

Den Winkel, den die Diagonale jetzt zur Horizontalen hat, bekommst Du eben, wenn Du sie als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks betrachtest, dessen Ankathete die Horizontale ist. Also über den Arcuscosinus. Ich bekomme da etwa 1,64°.

Nun muss nur noch die Differenz gebildet werden.

28.04.2017, 12:04

mcmuff

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wenn ich nach der Lösung von Mythos vorgehe:

y=x*c/b

=> c²+(x*c/b)² = (a+x)²

=> x =( sqrt (b²*c²(a²+b²-c²)) - ab² / b²-c²

berechne ich nun x mit den folgenden Werten a = 99,966, b=4, c=100,035

so komme ich auf 9714,51 für x, was ja definitiv nicht stimmen kann

Hat evtl. jemand eine Idee, wo mein Fehler liegt ?

28.04.2017, 12:46

Steffen Bühler

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Du bist mit den Klammern etwas auf Kriegsfuß.

Zitat:

Original von mcmuff
( sqrt (b²*c²(a²+b²-c²)) - ab² / b²-c²

Richtig wäre ( sqrt (b²*c²(a²+b²-c²)) - ab²) / (b²-c²)

Oder nimm besser gleich unseren Formeleditor:

$\begin{align*} \frac {\sqrt {b^2 \cdot c^2 \cdot (a^2+b^2-c^2)} - a \cdot b^2}{b^2-c^2} \end{align*}$

28.04.2017, 12:47

mcmuff

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Hab die Lösung hinbekommen:

Vielen dank

28.04.2017, 14:18

mYthos

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Sehr interessant ist, dass die Lösung von Steffen genau mit der 2. Lösung meiner quadratischen Gleichung übereinstimmt.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = b \cdot \frac{ab \pm c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{c^2-b^2} \end{eqnarray*}$

Übrigens ist keine Rede mehr von den zuerst geschriebenen 1,44° des TE.

@Steffen
Stimmt denn die 1. Lösung von 3.93° auch und wie käme man mit deiner Methode dorthin?

mY+

28.04.2017, 14:41

mcmuff

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@mYthos

Eigentlich geht es darum , die maximale Verkippung zweier Bauteile mit einer Passung zu berechnen.

Die Werte haben sich nur minimal verändert. a = 99,966, b=4, c=100,035

Nutze ich den Ansatz: $\begin{eqnarray*} tan(alpha)=x/b=y/c \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c²+y²=(a+x)² \end{eqnarray*}$

so erhalte ich für x folgende Formel : $\begin{eqnarray*} x=- sqrt((b²*c²*(a²+b²-c²))-ab²/b²-c² \end{eqnarray*}$

somit ergibt sich für den Winkel Alpha= 3,14°

Nutze ich nun eine CAD-Skizze mit den obrigen Werten a,b,c so komme ich ebenfalls auf einen Winkel von 3,14°

Forme ich nun die Bauteile zu einer Baugruppe (einzelne Teile, die über Verknüpfungen ausgerichtet werden) und messe mit Hilfe eines Tools nach, so erreiche ich eine Winkel von 1,44°

Momentan kann ich mir diese Abweichung noch nicht wirklich erklären, aus diesem Grund prüfe ich gerade erstmal wie sich das Programm bei anderen Maßstäben verhält.

Anbei noch einmal die beiden Fälle:

28.04.2017, 14:56

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von mYthos
Stimmt denn die 1. Lösung von 3.93° auch und wie käme man mit deiner Methode dorthin?

Ja, die stimmt auch. Physikalisch ist der kleine Quader ja jetzt natürlich eingeklemmt und kann nicht mehr weitergedreht werden. Mathematisch hindert uns aber nichts daran, ihn solange weiterzudrehen, bis die Diagonale wieder genau auf der rechten Kante endet.

Der Winkel zur Horizontalen ist dann aus Symmetriegründen -1,64°. Und die Differenz davon zu den ursprünglichen 2,29° ist - voilà!

Viele Grüße
Steffen

PS: Das gilt natürlich auch für die von mcmuff nun aktualisierten Werte. Der kleine Quader wird 1,44° weitergedreht, bis er anschlägt. Könnte man ihn weiterdrehen bzw. von unten anschlagen lassen, wäre das der andere Winkel von 3,14°. Man bekommt mit der Formel beide, wenn man beachtet, dass vor der Wurzel ein Plus-Minus-Zeichen stehen muss.

28.04.2017, 16:23

mYthos

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28.04.2017, 16:31

mYthos

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Zitat:

Original von mcmuff
...
erhalte ich für x folgende Formel : $\begin{eqnarray*} x=- sqrt((b²*c²*(a²+b²-c²))-ab²/b²-c² \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt syntaktisch nicht. Du musst, wenn du schon nicht den Formeleditor verwenden willst, dann wenigstens Klammern - und diese richtig - setzen.

mY+

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