Teilerfremdheit

27.04.2017, 19:20

chopchop

Teilerfremdheit

Meine Frage:
Hallo smile

Bei folgender Aufgabe bin ich mir noch nicht ganz sicher :

Z.z.: Es gibt keine natürlichen Zahlen p,q ,sodass
$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2} = 5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Lösung sieht zur Zeit so aus:
p,q sind Teilerfremd
$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2} = 5 \leftrightarrow p^2= 5q^2 \leftrightarrow (2m)^2=5q^2 \leftrightarrow 2\times 2m^2 =5q^2 \rightarrow q^2 gerade \rightarrow q gerade \end{eqnarray*}$

und das würde im Widerspruch zur Teilerfremdheit stehen?

Jemand Verbesserungsvorschläge? smile

27.04.2017, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von chopchop
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow p^2= 5q^2 \leftrightarrow (2m)^2=5q^2 \end{eqnarray*}$

Wieso soll aus der ersten Zeile folgen, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist? Erstaunt1

Kann es sein, dass du vom Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ein "bisschen zuviel" abgeschrieben hast, und da nicht so richtig über den Sinn der Argumente nachgedacht hast? unglücklich

27.04.2017, 20:12

chopchop

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viellicht...p² gerade, also p gerade? :O

i´ch weiß nicht so wirklich...das ist der erste Übungszettel unglücklich

kannst du mir denn helfen das richtig zu machen?

27.04.2017, 20:28

HAL 9000

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Kommt drauf an, wieviel du schon über Teilbarkeit weißt:

Aus der zweiten Zeile $\begin{align*} p^2 = 5q^2 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} 5\mid p^2 \end{align*}$ und daraus $\begin{align*} 5 \mid p \end{align*}$ . Also ist $\begin{align*} p=5m \end{align*}$ mit einer natürlichen Zahl $\begin{align*} m \end{align*}$ ... Wie könnte es weitergehen?

27.04.2017, 21:03

chopchop

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dann eventuell

(5m)²=5q²
daraus folgt dann 5m²=q² ...?

Wir haben eigtl. noch nichts über Teilbarkeit gemacht...das ist jetzt auch nur eine Zusatzaufgabe :O
Sollte wohl erst mehr über Teilbarkeit rausfinden...

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