Körper Nachweis

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Viereinhalb Auf diesen Beitrag antworten »
Körper Nachweis
Meine Frage:
Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe:

Sei ein Körper, und , mit der Multiplikation .

Ich soll nun zeigen, dass genau dann ein Körper ist, wenn a kein Quadrat in ist.

Meine Ideen:
Man kann relativ leicht nachrechnen, dass F ein kommutativer unitärer Ring ist. Zum Körper fehlt dann ja nur noch das multiplikative Inverse. Also

, wobei (m,n) das multiplikative Inverse sein soll. D.h.

.

Hier stocke ich jetzt. Es wird die zweite Komponente ja z.B. Null, wenn n=-y und m=x ist. Dann bliebe rechts

.
Das kann man noch umstellen zu . Das hilft mir aber nicht wirklich weiter.

Könnte mir jemand einen Wink geben? Danke smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Viereinhalb
Es wird die zweite Komponente ja z.B. Null, wenn n=-y und m=x ist.

"z.B." ist nicht genug, du musst da genauer vorgehen: Die zweite Komponente wird Null für



mit (noch) frei wählbaren . Das ergibt dann . Wie also muss man bei gegebenen den Wert wählen, damit das klappt? Und ist das auch stets möglich, d.h., für alle ?
Viereinhalb Auf diesen Beitrag antworten »

Man müsste k so wählen:



Das wäre aber nur für ungleich 0 möglich. D.h.

a ungleich ,

also darf a kein Quadrat sein.

Stimmt das so?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich bei der Setzung von schon zu sehr eingeschränkt, um noch etwas nützliches sehen zu können. Du musst analysieren, unter welchen Bedingungen bei der Multiplikation das Tupel herauskommt und nicht nur, wann die zweite Komponente Null ist.

Es ist einfach zu sehen, dass jedes mit ein multiplikatives Inverses besitzt, ganz gleich, wie aussieht. Konzentriere dich also auf den Fall und versuche, das Gleichungssystem

nach aufzulösen. Dabei sollte dir dann auffallen, wo sich Probleme ergeben könnten, wenn ein Quadrat ist. Andersherum solltest du sehen, dass sich keine Probleme ergeben, wenn kein Quadrat ist, sodass du dann ein mult. Inverses explizit angeben kannst.

Zu lange gebraucht. Tschüss.
Viereinhalb Auf diesen Beitrag antworten »

Daran anschließend: Sei . Für welche natürlichen Zahlen a ist ein Körper?

Meiner Meinung nach müsste es für alle natürlichen Zahlen a ein Körper sein, die keine Quadratzahlen sind, oder? Denn wäre a eine Quadratzahl, dann könnte ja beim oben gewählten k im Nenner eine Null stehen. Umgekehrt ist a keine Quadratzahl, wäre ja eine Wurzel, also nicht in.

Liege ich da richtig?

Danke schonmal für ein kurzes Feedback.
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