Dreiecksungleichung, spiegelsymmetrische konvexe Mengen.

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29.04.2017, 11:40	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksungleichung, spiegelsymmetrische konvexe Mengen. Hi, Für einen $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und eine konvexe Menge $\begin{eqnarray} K \subseteq V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \in K, \forall x \in K : -x \in K \end{eqnarray}$ möchte ich die Dreiecksungleichung für $\begin{eqnarray} \lVert \cdot \rVert : V \to \mathbb{R}\cup\{+\infty \}, \lVert x \rVert := \inf\{\frac{1}{\lambda} \mid \lambda > 0, \lambda x \in K \} \end{eqnarray}$ zeigen. (Es gilt zusätzlich: $\begin{eqnarray} \forall x \in V: \lVert x \rVert < +\infty \end{eqnarray}$ .) Ich habe mir die Norm für zwei Vektoren $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K = [-1,1]^2 \end{eqnarray}$ mal veranschaulicht, allerdings sehe ich nicht, wie ich für den allgemeinen Fall argumentieren könnte. (Dass $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung konvex ist, ist bestimmt hilfreich...) Für Hinweise wäre ich dankbar, die Priorität liegt für mich dabei auf der Intuition, nicht auf dem formalen Beweis - ich hoffe ihr habt ein paar Tipps
29.04.2017, 16:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, erstmal zum Hintergrund der Aufgabe: anschaulich gibt diese Seminorm ja an, um welchen Faktor man die Menge $\begin{align} K \end{align}$ strecken muss, bis sie einen Vektor $\begin{align} x \end{align}$ absorbiert. Stell dir vor, $\begin{align} K \end{align}$ wäre die euklidische Einheitskugel im $\begin{align} \mathbb R^2 \end{align}$ , dann wäre die resultierende Norm gerade die euklidische Norm, denn man muss die Einheitskugel genau um den Faktor $\begin{align} \\|x\\|_2 \end{align}$ strecken, um den Vektor $\begin{align} x \end{align}$ zu absorbieren. Es gilt für jede Halbnorm, dass, wenn man ihre Einheitskugel $\begin{align} K \end{align}$ betrachtet, man mit dieser Konstruktion genau wieder die Halbnorm zurückerhält. Geometrisch sollte das denke ich recht anschaulich sein. Nun kann man sich umgekehrt fragen, ob man auch anders herum gehen kann und sich, ohne eine Halbnorm zu kennen, eine Menge vorgeben kann und dazu eine Halbnorm konstruierbar ist, so dass es sich genau um die Einheitskugel der konstruierten Halbnorm handelt. Die Antwort ist ja, wenn die Menge $\begin{align} K \end{align}$ die hier geforderten Eigenschaften besitzt. Es geht also darum, zu vorgegebener Einheitskugel eine dazugehörige Halbnorm zu konstruieren. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bei solchen Ungleichungen die Infima/Suprema beinhalten ist es meist, so, dass man nicht direkt die Ungleichung zeigt, sondern eine um $\begin{align} \epsilon>0 \end{align}$ gestörte Ungleichung, also etwas in der Art $\begin{align} \\|x+y\\|\leq \\|x\\|+\\|y\\|+\epsilon \end{align}$ . Wenn man das dann für alle $\begin{align} \epsilon>0 \end{align}$ zeigen kann, zeigt das die Behauptung. Das ist hilfreich, weil einem Infima/Suprema im Gegensatz zu Minima/Maxima nicht erlauben, Elemente mit den geforderten Eigenschaften direkt auszuwählen. Ich meine das so, dass es eben nicht möglich ist, ein $\begin{align} \lambda >0 \end{align}$ zu wählen, so dass $\begin{align} \frac{1}{\lambda} = \\|x\\| \end{align}$ und $\begin{align} \lambda x\in K \end{align}$ . Um sowas zu erhalten, muss man die Eigenschaft leicht abschwächen. Stattdessen wählt man dann $\begin{align} \lambda>0 \end{align}$ , so dass $\begin{align} \lambda x\in K \end{align}$ und $\begin{align} \frac{1}{\lambda} \leq \\|x\\|+\epsilon \end{align}$ . Das ist so die Standardvorgehensweise bei Aussagen dieser Art. Schau mal, ob du damit weiter kommst.
29.04.2017, 22:13	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir für die ausführlichen Erklärungen! Einer Lösung bin ich bis jetzt leider nicht näher gekommen, und ich glaube, dass ich für heute meine Frustrationsgrenze erreicht habe. Ich wollte mich nur nochmal melden, und setze mich dann auf jeden Fall morgen wieder dran!
30.04.2017, 21:52	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, ich habe mittlerweile genug Papiermüll produziert, um sagen zu können, dass ich selbstständig wohl nicht mehr auf eine Lösung komme. Auch denke ich, dass ich die Aussage verstehe, aber ich kann mir weder formal noch anschaulich klar machen, warum sie gilt. Ich hoffe du kannst mir noch ein bisschen weiter helfen.
30.04.2017, 22:43	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wir wählen $\begin{align} \lambda_x,\lambda_y \end{align}$ mit $\begin{align} \lambda_xx,\lambda_yy\in K \end{align}$ und $\begin{align} \frac{1}{\lambda_x}\leq \\|x\\|+\epsilon, \frac{1}{\lambda_y}\leq\\|y\\|+\epsilon \end{align}$ . Es reicht dann, zu zeigen, dass $\begin{align} \\|x+y\\|\leq \frac{1}{\lambda_x}+\frac{1}{\lambda_y} \end{align}$ . Da $\begin{align} \\|x+y\\| \end{align}$ untere Schranke der Menge $\begin{align} \left\{\frac{1}{\lambda}\vert~\lambda>0, \lambda (x+y)\in K\right\} \end{align}$ ist, reicht es, zu zeigen, dass $\begin{align} \frac{1}{\lambda_x}+\frac{1}{\lambda_y} \end{align}$ ein Element dieser Menge ist.
30.04.2017, 23:01	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit war ich heute schon (auch mit identischen Bezeichnungen ). Übersehe ich irgendetwas zentrales? Ich habe noch ein wenig Zeit, mich mit dieser Aufgabe auseinanderzusetzen. Ich denke, ich setze mich nochmal ein paar Stunden hin, vielleicht bringt das ja was.
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30.04.2017, 23:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre denn zu zeigen, damit dieses Element in der Menge liegt?
30.04.2017, 23:11	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\lambda_x \lambda_y}{\lambda_x + \lambda_y}(x+y) \in K \end{eqnarray}$ , oder nicht? Aber aus $\begin{eqnarray} \frac{\lambda_y}{\lambda_x+\lambda_y} \lambda_x x \in K \ni \frac{\lambda_x}{\lambda_x + \lambda_y} \lambda_y y \end{eqnarray}$ folgt das ja nicht?
30.04.2017, 23:14	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist fast da, nur ein wenig übers Ziel hinaus. Tipp: Was ist $\begin{align} 1-\frac{\lambda_y}{\lambda_x+\lambda_y} \end{align}$ ?
30.04.2017, 23:27	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh. Danke! Also, wegen $\begin{eqnarray} \lambda_x x , \lambda_y y \in K \end{eqnarray}$ folgt mit $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ konvex: $\begin{eqnarray} \frac{\lambda_y}{\lambda_x + \lambda_y} \lambda_x x + \left( 1 - \frac{\lambda_y}{\lambda_x + \lambda_y} \right) \lambda_y y = \frac{\lambda_x \lambda_y}{\lambda_x + \lambda_y}(x+y) \in K \end{eqnarray}$ die Behauptung. ... Ich weiß gar nicht, was ich dazu sagen soll. Ich saß einfach viel zu lange an dieser Aufgabe, um das nicht gesehen zu haben. Danke nochmal!
30.04.2017, 23:34	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gefühl kenne ich. Manchmal machts dann klick, wenn man nach einer längeren Pause nochmal draufschaut

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