allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung

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29.04.2017, 15:55	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Es sei w = a + ib mit $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} w^{2} = z \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von a und b da. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \text{Sei } z=x+iy \Rightarrow z^{2} = (x^{2} - y^{2}) +2ixy =^{!} a+ib \end{eqnarray}$ Nun liefert mir der Koeffizientenvergleich doch folgendes System: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a = x^{2} - y^{2} \\ b = 2xy\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun frage ich: was übersehe ich? Denn das sind doch zuwenig Information, um x und y durch a und b darzustellen, oder?
29.04.2017, 16:07	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum? Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, das sollte also lösbar sein. Tipp: Schau dir die Fälle $\begin{align} b=0, b\neq 0 \end{align}$ getrennt an.
29.04.2017, 16:27	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich soll es doch in Abhängigkeit von a und b angeben, warum setze ich dann eines dieser beiden gleich/ungleich Null? Dein Tipp zeigt mir zumindest, das ich auf dem falschen Weg war. Ich hatte x und y in diesen beiden Fällen betrachtet. Wenn ich also deine Anmerkung anwende, erhalte ich: $\begin{eqnarray} 1.) b=0 \Rightarrow x=0 \vee y=0 \\<br /> 1.1) x=0 \Rightarrow y=\pm\sqrt{-a} \\<br /> 1.2) y=0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}<br /> <br /> 2.) b\neq 0 \\<br /> 2.1) y\neq 0 \Rightarrow x =\frac{b}{2y}\Rightarrow a=\frac{b^{2}}{4y^{2}} - y^{2}<br /> \end{eqnarray}$ Ab hier weiß ich leider nicht weiter...
29.04.2017, 17:22	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufpassen bei den Rechnungen bitte. Die Wurzel aus $\begin{align} -a \end{align}$ bzw. $\begin{align} a \end{align}$ kannst du nur ziehen, wenn die entsprechenden Ausdrücke positiv sind. Du musst also in den Unterfällen 1.1, 1.2 nicht unterscheiden, ob x=0 oder y=0, sondern ob a positiv oder negativ ist. Es ergibt auch keinen Sinn, zu unterscheiden, was x,y sind, die wählst du ja selbst, so dass es passt. Stattdessen musst du dich daran anpassen, welche Werte a und b haben. Im Fall 2.1) kannst du jetzt mal mit y^2 multiplizieren und dann z := y^2 substituieren.
29.04.2017, 17:53	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber in 2.1 komme ich dann nur auf $\begin{eqnarray} az = b^{2} - z \end{eqnarray}$ und sehe nichts
29.04.2017, 18:02	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die pq-Formel nicht? Edit: Da müsste auch irgendwo ein z^2 auftauchen. Und wo ist die 4 hin?
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29.04.2017, 18:20	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich war zu vorschnell: $\begin{eqnarray} ay^{2} = \frac{b^{2}}{4}-y^{4} \Leftrightarrow az = \frac{b^{2}}{4}-z^{2} \Leftrightarrow z^{2} + az -\frac{b^{2}}{4} = 0 \Rightarrow z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}} = -\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} y_{1,2} = \sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} \end{eqnarray}$
29.04.2017, 18:22	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} z \end{align}$ ist das Quadrat einer reellen Zahl, überleg nochmal, ob das nicht eine der Lösungen disqualifiziert. Andererseits hast du beim Übergang von z zu y eine Lösung vergessen.
29.04.2017, 18:27	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, beim zweiten habe ich plusminus vergessen. Aber was genau meinst du mit dem ersten Hinweis? €dit: Sorry, ich glaube ich weiß, was du meinst. Bei der ersten pq-Formel darf ich kein plusminus setzen, sondern nur plus. $\begin{eqnarray} y_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} \end{eqnarray}$
29.04.2017, 19:51	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist zwar richtig mit dem Plus, aber da du noch ein Minus ausklammerst, müsste da dann ein Minus stehen.

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