Abbildung von Restklassen injektiv wenn ggT(a,m) = 1 |
| 29.04.2017, 16:11 | Sarah1910 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abbildung von Restklassen injektiv wenn ggT(a,m) = 1 Hallo liebes Forum, ich komme bei einer Matheaufgabe leider gar nicht weiter und brauch eure Hilfe. Gegeben ist eine Abbildung f: Z/mZ -> Z/mZ mit f(x) = ax. Mit a,m Element Z und m > 1. Zu zeigen ist, dass diese Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der größte gemeinsame Teiler ggT(a,m)=1 Meine Ideen: Meine Idee war zunächst folgende: Seien u,v Elemente aus Z/mZ dann ist zu zeigen das aus f(u) = f(v) folgt u=v: f(u) = f(v) -> au = av wenn ich jetzt durch a teile folgt ja schon u=v Mein Problem ist jetzt hab ich ja nichts mit dem ggT(a,m)=1 gezeigt. Jetzt war meine Idee: Wenn der ggT(a,m)=1, dann muss ja a oder m eine Primzahl sein. Und wir hatten in der Vorlesung das Z/mZ keine Nullteiler hat, wenn m eine Primzahl. Irgendwie weiß ich jetzt aber nicht wie ich diese beiden Ideen zusammen bekomme oder bin ich total auf dem Holzweg? Bitte helft mir! |
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| 29.04.2017, 17:27 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Das ist ein schönes "wenn". Du bist nicht in einem Körper. Du kannst nicht einfach so teilen. "Teilen" ist in einem Ring erstmal gar nicht wirklich definiert. Das ist genau die Frage hier: Wann genau ist es überhaupt möglich so zu "teilen". Und da kommt das mit dem ggT ins Spiel.
Nein. z.B. a=9, m=8. |
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| 29.04.2017, 17:34 | Sarah1910 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay das mit der Primzahl war falsch das sehe ich ein 
Aber warum darf ich jetzt durch a teilen wenn der ggT(a,m)=1 ? Kannst du mir da helfen? |
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| 29.04.2017, 17:40 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau mal in dein Skript. Da steht garantiert was zu invertierbaren Elementen in Restklassenringen. |
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| 29.04.2017, 17:48 | Sarah1910 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider nicht. Wir haben in der letzten Vorlesung erstmalig den Ring eingeführt. Bei uns ist das leider immer so, dass die Hausübungen zu Themen sind, die wir oft erst danach ansprechen oder gar nicht richtig ansprechen. |
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