Volumen einer Menge

29.04.2017, 17:37

Sito

Volumen einer Menge

Guten Tag zusammen,

ich soll das Volumen der Menge $\begin{align*} A=\{\textbf{x}\in [0,1]^n| \forall i \neq j, |x_i-x_j| \ge \delta\} \end{align*}$ bestimmen, wobei $\begin{align*} \delta > 0 \end{align*}$ . Der Tipp dazu ist es zuerst das Volumen von $\begin{align*} A\cap \{\textbf{x}\in \mathbb{R}^n| x_1\le x_2\le \dots\le x_n\} \end{align*}$ zu bestimmen und dann zu zeigen, dass das Volumen von $\begin{align*} A \end{align*}$ das $\begin{align*} n! \end{align*}$ -fache dieses Voulmens ist.

Ich komme aber um ehrlich zu sein auch mit dem Tipp nicht wirklich weiter, bzw. weiss irgendwie nicht so recht wie ich hier ansetzten muss um das Volumen zu berechnen.. Meine Ideenen bis jetzt waren Ober- bzw. Untersummen, aber damit bin ich nicht wirklich weit gekommen.

Ich wäre froh um einen Denkanstoss, aber bitte auch nicht mehr.. Falls es dann immer noch nicht funktionieren sollte melde ich mich nocheinmal.

Vielen Dank schon im Voraus,
Sito

29.04.2017, 18:02

Clearly_wrong

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Sei $\begin{align*} \tilde A \end{align*}$ die Menge aus dem Tipp.
Das Volumen dieser Menge ist $\begin{align*} \int_{\tilde A} 1 \dd x \end{align*}$ .

Verwende jetzt den Satz von Fubini und schreibe als $\begin{align*} n \end{align*}$ einfache Integrale. Überlege dir zuerst, in welchem Bereich sich $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ maximal bewegen kann, dann in welchem Bereich sich $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ maximal bewegen kann, wenn $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ fest ist und so weiter.

Überleg es dir vielleicht erstmal für $\begin{align*} n=2,3 \end{align*}$ .

30.04.2017, 15:49

Sito

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Zuerst mal vielen Dank für den Tipp!

Ich habe jetzt eine Weile darüber nachgedacht, aber ich denke ich komme nicht wirklich auf das richtige.

Sei $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ . Dann gilt $\begin{align*} A=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2: |x_1-x_2|\ge\delta\} \end{align*}$ und $\begin{align*} \hat{A} = A \cap \{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2|x_1\le x_2\} \end{align*}$ . Meine Überlegung war nun, dass gelten muss: $\begin{align*} 0\le x_1\le x_2 \end{align*}$ und für $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ : $\begin{align*} x_1-x_2\ge \delta \Leftrightarrow x_2 \le x_1-\delta \end{align*}$ und $\begin{align*} -x_1+x_2\ge \delta \Leftrightarrow \delta-x_1 \le x_2 \end{align*}$ , also $\begin{align*} \delta -x_1 \le x_2\le x_1-\delta \end{align*}$ .
Damit könnte man dann das Integral umschreiben in: $\begin{align*} \int_{\hat{A}} 1\dd x = \int_{0}^{x_2} \int_{\delta -x_1}^{x_1-\delta}1\dd x_2\dd x_1 \end{align*}$ . Zumindest ist bin ich auf nichts schlaueres gekommen. Leider bin ich mir nicht sicher ob das überhaupt stimmt und auch wenn weiss ich um ehrlich zu sein nicht genau wie weiter...

30.04.2017, 16:13

HAL 9000

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Zunächst dies:

$\begin{align*} |x_1-x_2|\ge \delta \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} x_1-x_2\ge \delta \end{align*}$ oder $\begin{align*} -(x_1-x_2) = -x_1+x_2\ge \delta \end{align*}$ . Anscheinend willst du diese beiden Fälle diskutieren, jedenfalls verstehe ich deine Ausführungen so.

Zitat:

Original von Sito
$\begin{align*} 0\le x_1\le x_2 \end{align*}$ und für $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ : $\begin{align*} x_1-x_2\ge \delta \Leftrightarrow x_2 \le x_1-\delta \end{align*}$

Letzteres widerspricht $\begin{align*} x_1\le x_2 \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ , d.h., da gibt es keine Lösung.

Zitat:

Original von Sito
und $\begin{align*} -x_1+x_2\ge \delta \Leftrightarrow \delta-x_1 \le x_2 \end{align*}$

Schwerer Fehler in der Umstellung: Tatsächlich heißt es $\begin{align*} x_1+\delta \le x_2 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} x_1\le x_2-\delta \end{align*}$ .

Oder dann allgemein für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ fortgesetzt:

$\begin{align*} 0\le x_1 \le x_2-\delta \le x_3-2\delta \le \ldots \le x_n-(n-1)\delta \le 1-(n-1)\delta \end{align*}$ .

Und als weiterer Hinweis: Aus $\begin{align*} V\left( \left\{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) \mid 0\le x_1\le x_2 \le \ldots \le x_n\le 1 \right\} \right) = \frac{1}{n!} \end{align*}$ folgt durch einfache Skalierung $\begin{align*} V\left( \left\{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) \mid 0\le x_1\le x_2 \le \ldots \le x_n\le a \right\} \right) = \frac{a^n}{n!} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ .

02.05.2017, 22:23

Sito

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Zuerst mal vielen Dank für's drüber schauen.

Den Fehler beim Umstellen sehe ich soweit und ich kann auch nachvollziehen wie du auf $\begin{align*} 0\le x_1 \le x_2-\delta \le x_3-2\delta \le \ldots \le x_n-(n-1)\delta \le 1-(n-1)\delta \end{align*}$ kommst (das müsste man dann noch per Induktion zeigen oder?).

Leider habe ich immer noch etwas Mühe die Grenzen für den Fall $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ sauber aufzuschreiben und vor allem dann auch das Integral zu berechnen.
Also wenn $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ , dann folgt aus $\begin{align*} -x_1+x_2 \ge \delta \Leftrightarrow x_1\le x_2-\delta \end{align*}$ . Und aus diesen Infos müsste ich dann das Integral vereinfachen können, wobei das hier alles ist was ich schaffe: $\begin{align*} \int_{\hat{A}}1\dd x = \int_0^{x_2-\delta}\int_{B}^{C} 1\dd x_2\dd x_1 \end{align*}$ . Bei $\begin{align*} B \end{align*}$ könnte man evntl. ausnutzen, dass man weiss, dass $\begin{align*} x_1\le x_2 \end{align*}$ ist, also $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ als untere Grenze verwenden und für die obere Grenze müsste es ja nach der oberen Gleichung $\begin{align*} 1-\delta \end{align*}$ sein. Dann würde das Integral wie folgt aussehen: $\begin{align*} \int_{\hat{A}}1\dd x = \int_0^{x_2-\delta}\int_{x_1}^{1-\delta} 1\dd x_2\dd x_1 \end{align*}$ . Wie gesagt, ich weiss leider nicht wie man sowas jetzt berechen soll bzw. wie ich darauf kommen soll, dass die Lösung davon $\begin{align*} \frac{1}{2!} \end{align*}$ ist.

Für deinen letzten Hinweis bedanke ich mich, aber der findet im Moment wohl noch keine Anwendung (denke ich zumindest).

03.05.2017, 21:18

Sito

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Ok, ich habe mir noch einmal darüber Gedanken gemacht und denke, dass was ich gestern geschrieben habe ist doch nicht ganz richtig....

Sei $\begin{align*} \hat{A} \end{align*}$ wie oben und $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ , dann müsste folgendes Bild die Situation in etwa abbilden:

http://fs5.directupload.net/images/170503/ccecmh7k.png
Also die blau markierte Fläche müsste hier das $\begin{align*} \hat{A} \end{align*}$ sein, der schwarz gestrichelte Strich genau $\begin{align*} 1-\delta \end{align*}$ und der Abstand in $\begin{align*} y \end{align*}$ -Richtung zwischen dem blauen Strich und dem orangen genau $\begin{align*} \delta \end{align*}$ . Das Integral müsste sich dann schreiben lassen als: $\begin{align*} \int_{\hat{A}}1\dd x = \int_0^{1-\delta}\int_{x_1+\delta}^{1} 1\dd x_2\dd x_1 \end{align*}$ . Das Problem ist jetzt, dass ich nicht weiss wie man diesen Fall auf $\begin{align*} n=3,4,\dots \end{align*}$ ausweitet...

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