Partielle Integration nutzen

29.04.2017, 20:43

mathezite

Partielle Integration nutzen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \sqrt{(1-x^{2}} ) \, dx \end{eqnarray*}$ mit der partiellen Integration (!) lösen. Also nicht substituieren, ich weiss nicht ob man da total ohne Substition auskommst aber das ist meine Aufgabe.

Meine Ideen:
Ich bin bis $\begin{eqnarray*} x*\sqrt{1-x^{2} } - 0,5\int_{a}^{b} \! \frac{-x^{2} }{\sqrt{1-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$ gekommen und habe schon probiert mit -x^2 +1 -1 das Integral über Linearität zu lösen das funktioniert aber nicht, ich sitz schon so lange dadran, weiss aber nicht weiter. Nochmal partielle Integration sehe ich da auch nicht so wirklich.

Danke schonmal

29.04.2017, 22:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathezite
Ich bin bis $\begin{eqnarray*} x*\sqrt{1-x^{2} } - {\color{red}0{,}5} \int_{a}^{b} \! \frac{-x^{2} }{\sqrt{1-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$ gekommenl

Überprüfe mal den Vorfaktor vor dem rechten Integral. unglücklich

Ansonsten: Nutze

$\begin{align*} \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1+(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} \end{align*}$

und damit im Zusammenhang das Grundintegral $\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = \arcsin(x) \end{align*}$ .

29.04.2017, 22:55

mathezite

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Ja da habe ich tatsächlich vergessen die 2 zu kürzen danke dafür. Okay aber dann muss ich ja mit der Linearität auch noch Wurzel(x^2 +1) soll ich dann mit Substitution lösen?

30.04.2017, 00:47

mYthos

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Das letzte Integral von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ist ja wieder das ursprüngliche, das ist ja gerade das Schöne.
Somit kannst du es auf die linke Seite bringen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int \sqrt{1-x^2}~\dd x = x \cdot \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x \end{eqnarray*}$

Nun?

mY+

30.04.2017, 13:28

mathezite

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Ja dann habe ich es ja direkt wenn ich mit 1/2 multipliziere richtig?

30.04.2017, 14:10

mYthos

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So ist es! smile

mY+

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