Geschlecht 1 - wie kann man das verstehen?

30.04.2017, 16:01

Matheneuling1991

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Geschlecht 1 - wie kann man das verstehen?

Hallo zusammen,

ich habe eine kurze Frage:
Die allgemeine Definition einer elliptischen Kurve ist eine nicht-singuläre Kurve über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit Geschlecht 1 und einem rationalen Punkt in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Nun versuche ich zu verstehen, was das Geschlecht im Falle einer Kurve bedeutet, z.B. haben wir die sehr einfache elliptische Kurve über dem Körper der reellen Zahlen gegeben mit

$\begin{eqnarray*} y^2=x^3+x \end{eqnarray*}$ gegeben;

Woran kann ich erkennen, dass die Kurve Geschlecht 1 hat? Was bedeutet das, wenn ich nur eine Kurve gegeben habe genau?

30.04.2017, 16:12

tatmas

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Hallo,

das Geschlecht oder genus einer Kurve bzw Fläche ist ein feststehender Begriff.
Die anschauliche Erklärung ist, das Geschlecht ist die Anzahl der Löcher.

30.04.2017, 16:15

Matheneuling1991

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Ja, das habe ich auch gelesen, aber ich habe extra ein einfaches Beispiel genommen, das man mit Hilfe von einem Graph veranschaulichen kann

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2%3Dx%5E3%2Bx

Da dies eine elliptische kurve ist, muss diese Kurve Geschlecht/ Genus 1 haben? Aber wie sehe ich das jetzt?

30.04.2017, 16:24

tatmas

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So siehst du das gar nicht. Die reellen Zahlen sind dazu komplett unggeigenet.
Dafür brauchts einen algebraisch abgeschlossenen Körper, darin macht man ja auch Geometrie.
Und eine komplexe elliptische Kurve ist isomorph zu einem handelsüblichen Torus, mit einem Loch in der Mitte.

30.04.2017, 18:30

Matheneuling1991

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Aber nicht jede elliptische Kurve ist über C definiert, oder?

Kannst du versuchen mir zu erklären, wie ich mir das Geschlecht bei einer Kurve vorstellen kann? Und warum eine komplexe elliptische Kurve isomorph zu einem handelsüblichen Torus, mit einem Loch in der Mitte ist?

30.04.2017, 18:40

tatmas

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Zitat:

Aber nicht jede elliptische Kurve ist über C definiert, oder?

Nein es ist aber über irgendeinem algebraischen Abschluss definiert. Die komplexen Zahlen sind halt der anschaulichste.

Zitat:

Kannst du versuchen mir zu erklären, wie ich mir das Geschlecht bei einer Kurve vorstellen kann?

Das habe ich bereits im ersten Beitreg gemacht.

Zitat:

Und warum eine komplexe elliptische Kurve isomorph zu einem handelsüblichen Torus, mit einem Loch in der Mitte ist?

Das ist eine Frage dessen wie viel du weißt. Kennst du die weierstaßsche p-Funktion?
Modulfunktionen/gruppen? Funktionentheorie?

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30.04.2017, 18:50

Matheneuling1991

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Nein, nein und nein...

Ich habe mich noch nie mit Algebra beschäftigt muss nun aber dieses Thema vorstellen; Kannst du trotzdem versuchen, es mir zu erklären?
Du kannst auch gerne Dinge benutzen, die ich nicht kenne, solange ich das relativ einfach nachschlagen kann;

30.04.2017, 18:55

tatmas

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Zitat:

Ich habe mich noch nie mit Algebra beschäftigt muss nun aber dieses Thema vorstellen

Was ist denn dieses Thema?

Zum Einen ist das worum's hier geht mehr Funktionentheorie als Algebra.
Zum Anderen ist die Defintion über den genus irrelavent für einen Großteil der Arbeit mit elliptischen Kurven.

Zitat:

Kannst du trotzdem versuchen, es mir zu erklären? Du kannst auch gerne Dinge benutzen, die ich nicht kenne, solange ich das relativ einfach nachschlagen kann;

Ja und genau das ist imho nicht möglich.

30.04.2017, 19:00

Matheneuling1991

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Elliptische Kurven - ich möchte nur einmal die allgemeine Definition von elliptischen Kurven geben, dafür muss ich aber Genus definieren und dafür sollte ich zumindest halbwegs etwas dazu wissen

30.04.2017, 19:08

tatmas

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Zitat:

dafür muss ich aber Genus definieren und dafür sollte ich zumindest halbwegs etwas dazu wissen

Wieso "musst" du das?

Und wieso muss das z.B. Silverman-Tate nicht? Oder der SIlverman?

Ich zitier mal die Defintion aus Werner, Elliptische Kurven in der Kryptographie:
Eine elliptische Kurve ist eine nicht-singulare projektive Kurve C, wobei g ein homogenes Polynom vom Grad drei der folgenden Gestalt ist: (Weierstraßgleichung)

Ist das nicht die allgemeine Definition einer elliptischen Kurve?

30.04.2017, 19:11

Matheneuling1991

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DIe allgemeine Definition laut meines Profs ist die andere Definition, wobei es dann einen Satz gibt, dass man jede elliptische Kurve in Weierstrass Form überführen kann...
Und müssen deswegen, weil es der Prof gerne sehen würde...

30.04.2017, 19:14

tatmas

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Dann führt kein Weg dran vorbei dich entsprechend ins Thema einzulesen...

30.04.2017, 21:39

Matheneuling1991

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Okay, kannst du mir eine kurze Anleitung geben was ich wie zuerst lesen sollte?

01.05.2017, 11:10

Elvis

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Stimmt etwas nicht in deinem Verhältnis zu deinem Professor ? Meine Professoren haben stets saubere Aufgaben formuliert, die in sinnvollem Zusammenhang zu ihren Vorlesungen standen, und sie haben überdeutliche Hinweise gegeben, welche Literatur sie empfehlen. Wenn dann noch Fragen offen waren, konnten wir sie selbstverständlich mit dem Professor, seinen Assistenten oder anderen Kollegen am Lehrstuhl besprechen und klären.

01.05.2017, 11:37

Matheneuling1991

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Nein, das möchte ich nicht behaupten;

Nur ein Professor, der vielleicht etwas übermotiviert ist und ein Seminar starten möchte, wo man für die Erarbeitung für einen Vortrag nur zwei Wochen hat, was extrem kurz ist, wenn man die Materie schlecht kennt und noch andere Dinge erledigen muss...

Letztendlich erwartet er nicht das vollständige Erklären von Genus, sondern nur die Idee dahinter, nur ist das sehr schwer zu verstehen - und irgendwie ist es blöd etwas vereinfacht zu erklären, wenn ich selbst das vollständige Konzept nicht verstehe;

Am einfachsten ist es wohl so: Ich stelle einfach ein Beispiel vor, dass man, wenn die elliptische Kurve in C ist, sie als Torus mit einem Loch beschreiben kann und die Anzahl der Löcher man mit dem Genus assoziieren kann - letztendlich dürften die meisten anderen Teilnehmer sowieso nicht mehr verstehen;

Lass uns also davon ausgehen, dass wir eine elliptische Kurve über $\begin{eqnarray*} \mathbf{C} \end{eqnarray*}$ gegeben haben; Sagen wir
$\begin{eqnarray*} y^2=x^3+x \end{eqnarray*}$

was eine sehr einfaches Beispiel einer elliptischen Kurve ist; Wie kann ich nun daraus den Torus beschreiben?

Dies funktioniert mit Hilfe der Weierstraßschen P-Funktion, richtig?

https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisch....84.98-Funktion

Aber was ist nun p(x) und p'(x)?

01.05.2017, 11:40

tatmas

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@Elvis: Hier ist deutlich mehr faul. Das Thema ist extrem unspezifisch gestellt. Es gibt dicke Lehrbücher mit dem Titel.
Und dann hat der TE nach eigener Angabe noch nie mit Algebra beschäftigt und scheinbar auch nicht mit Funktionentheorie.
Was macht TE dann in einem Seminar und mit einem Vortrag wo beides ziemlich sinnvoll wär-
Bzw. passt das Thema zum Seminar (was auch immer das dann ist)

01.05.2017, 11:44

Matheneuling1991

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Ich habe ddieses Seminar gewählt , weil die anderen belegt waren - jetzt zufrieden? verwirrt

verwirrt

verwirrt

Können wir zum Thema zurückkommen?

01.05.2017, 11:48

tatmas

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p ist die Weierstraßsche p-Funktion, wie im Link definiert.
p' deren Ableitung.
Um das halbwegs sauber erklären zu können brauchts eigentlich auch noch den Begriff des Gitters.

Zitat:

sie als Torus mit einem Loch beschreiben kann und die Anzahl der Löcher man mit dem Genus assoziieren kann

EIn Torus hat immer nur ein Loch. Ein Torus hat genus 1.

Wenn du -vermutlich absolut zu Recht- davon ausgehst, dass es eh keiner versteht, dann solltest du zu deinem Prof. gehen und ihm das genau so sagen. Vielleicht ist dem Prof. gar nicht bewusst , dass die Hörer von dem Zeug keinerlei Ahnung haben.
Ist das ein Topologie-Seminar und/oder der Prof. Topologie?
(genus ist ein Begriff topologischer Natur)

Das ist bei elliptischen Kurven grad das fiese. Da kommen sehr viele Richtungen der Mathematik zusammen. Und wenn man nicht zumindest ein bisschen Ahnung von den jeweiligen Gebieten hat verliert man sich schnell in Begrifflichkeiten.

01.05.2017, 11:52

Matheneuling1991

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Das Thema sind elliptische Kurven und da ein Rundumschlag; Es gibt viele Vorträge - Elliptische Kurven als Einführung, über $\begin{eqnarray*} \mathbf{C} \end{eqnarray*}$ , über $\begin{eqnarray*} \mathbf{Q} \end{eqnarray*}$ , in der Kryptographie , über endliche Körper etc.

Kannst du mir dann helfen, p und p' im Falle dieses Beispiels zu berechnen?

Das Beispiel ist $\begin{eqnarray*} y^2=x^3+x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbf{C} \end{eqnarray*}$

01.05.2017, 12:13

tatmas

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Zitat:

Kannst du mir dann helfen, p und p' im Falle dieses Beispiels zu berechnen?

Was soll das bringen?
Du willst doch die Isomorphie zum Torus. Dann ist das Gitter und die Eisensteinkonstanten des Gitters die viel aussagekräftigeren Objekte.

Zitat:

Es gibt viele Vorträge

Und deiner heißt jetzt wie nochmal genau?
Weil "Elliiptische Kurven" ist wohl der Name des Seminars.

Ich bin mir nach wie vor nicht klar was du jetzt genau vortragen sollst. Und was dein Vorwissen ist und das der anderen Seminarteilnehmer.
Wenn die Seminarteilnehmer alle bereits wissen was ein (topologischer) Genus ist, musst du da nicht mehr viel erklären; da langt mehr oder weniger ein Bild.
Ansonsten musst du da halt nochmal ausholen.
Wenn dein Thema "Elliptische Kurven in den komplexen Zahlen" dann solltest du ohnehin Gitter einführen und die Isomorphie zum Torus geht relativ schnell.
Oder einer der vorigen Vorträge hat es schon gemacht. Dann kannst du darauf aufbauen.

Genau wegen solchem Zeug frage ich nach. Und leider lässt dir das sehr aus der Nase ziehen.

01.05.2017, 12:33

Matheneuling1991

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Sorry, ab jetzt bin ich ein offenes Buch...

Natürlich habe ich mir mangels Wissen die Einführung gesichert; Mein Vortrag ist soweit auch fertig bis auf das mit der Einführung der allgemeinen Definition einer elliptischen Kurve und daher einer kurzen Einführung des Genus;

Ich denke es ist am sinnvollsten, wenn ich es am Beispiel einer elliptischen Kurve in C verdeutliche, d.h. wenn ich für eine solche elliptischen Kurve in C p(z) und p'(z) angebe und ein Bild des Torus zeige;
Da ich danach mit Weierstrass Gleichungen arbeite, ist es eigentlich unwichtig, sondern es muss nur einmal erwähnt werden (ich stelle die Gruppenstruktur, Weierstraß-Gleichungen, j-Invariante, Diskriminante und Projektiver Raum, Homogene Polynome und Point at infinity vor)

01.05.2017, 12:54

tatmas

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Das mit dem genus passt halt inhaltlich nicht so wirklich zum Rest dazu.
Wenn du die j-Invariante einführst wirst du auch die Invarianten $\begin{eqnarray*} g_2, g_3 \end{eqnarray*}$ einführen.

Da würde ich den Übergang machen. Da kannst du kurz Gitter anschneiden. Damit kriegst du den Torus (als Quotient von Ebene und Gitter).

Die p-Funktion anzugeben bringt nichts. Das Gitter ist entscheidend.

Wahrscheinlich ist eine Darstellung in der Richtung
en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve#Elliptic_curves_over_the_complex_numbers
am sinnvollsten. Mit anschließender kurzer Veranschaulichung des Torus.

01.05.2017, 13:02

Elvis

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Mach es doch wie jeder normale Mensch und wie tatmas es die ganze Zeit schon vorschlägt. Fang an mit einem Gitter in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , das ist ein Torus, hat also Geschlecht 1. Dann kommt die Weierstraß'sche $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Funktion und ihre Ableitung $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ , beides sind doppelt-periodische meromorphe Funktionen, Perioden sind die Gitterpunkte. Es gilt die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} (p'(z))^2=4p^3(z)-60G_4p(z)-140G_6 \end{eqnarray*}$ mit den Eisenstein'schen Reihen $\begin{eqnarray*} G_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_6 \end{eqnarray*}$ . Damit hast du die elliptische Kurve $\begin{eqnarray*} y^2=4x^3-g_2x-g_3 \end{eqnarray*}$ , jede elliptische Kurve hat das Geschlecht 1.

Wenn dir das alles nicht gefällt, dann nimm z.B. das hier https://www.ma.tum.de/foswiki/pub/TopMat...ster_Meisel.pdf oder irgend etwas anderes aus dem Internet.

01.05.2017, 17:28

Matheneuling1991

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Okay, ich habe mich etwas in das Thema eingelesen, könnt ihr mir sagen, ob das so stimmt, was ich sage?

Ich nehme mir die Gaußschne Zahlenebene(complex plane) und entwerfe hier ein Gitter; Dazu nehme ich zwei Punkte $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ aus der Ebene, die linear unabhängig sind;
Mein Gitternetz ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray*} \Omega:=\{n_1\omega_1+n_2\omega_2: n_1, n_2 \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ ;
Dieses Gitternetz erstreckt sich über die gesamte Gaußsche Zahlenebene und ist selbst Teilmenge dieser Ebene;

Nun definiere ich mir für dieses Gitter $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p}(z) \end{eqnarray*}$ , definiert wie hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisch....84.98-Funktion

für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ beliebig, richtig?

Nun benutze ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} (p'(z))^2=4p^3(z)-g_2(\Gamma)p(z)-g_3(\Gamma) \end{eqnarray*}$

Und sehe, dass ich wenn ich nun das Folgende setze:

$\begin{eqnarray*} z \rightarrow(\mathfrak{p}(z),-\mathfrak{p}'(z)/2) \end{eqnarray*}$

wieder zu der vereinfachten, allgemeinen Form komme:

$\begin{eqnarray*} y^2=x^3+Ax+B \end{eqnarray*}$ ,

und wenn ich das

$\begin{eqnarray*} z \rightarrow(\mathfrak{p}(z),-\mathfrak{p}'(z)/2) \end{eqnarray*}$

plotten würde, bekomme ich ein Torus, was beweist, dass über den komplexen Zahlen eine elliptische Kurve der Form y^2=x^3+Ax+B Genus eins hat;

Ich bin ziemlich sicher, dass das so noch nicht stimmt - kann vielleicht jemand etwas dazu sagen?

01.05.2017, 18:07

Elvis

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Lies in Wikipedia den Abschnitt "Periodengitter und Grundmasche", da hast du schon deinen Torus, also eine Fläche vom Geschlecht 1. Da steht auch, dass elliptische Funktionen zum Torus gehören. Wie ich gezeigt habe, gehören elliptische Kurven zu elliptischen Funktionen. Wenn niemand eine Ahnung hat, ist das doch Motivation genug. Alles hängt irgendwie zusammen, alles hat Geschlecht 1.

Tipp: Frage deinen Professor, ob ihm das genügt. Wenn nicht, soll er dir das erklären. Das macht er sicher gern, denn das ist sein Lebenszweck.

02.05.2017, 18:08

Matheneuling1991

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Okay, habe ich gemacht, danke... :-)

02.05.2017, 18:14

Elvis

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Prima, was hat er gesagt ? (Ich wüsste schon gerne, ob ich die Grundidee erfasst oder Unsinn geredet habe...)

03.05.2017, 00:08

Matheneuling1991

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Ob du die Grundidee erfasst hast? Natürlich hast du das, diie Frage ist aber ob ich das auch habe;

Ich kopiere einfach mal, was ich vorgetragen habe:

The definition of genus is rather complicated and needs advanced skills in topology. For this reason we just give an idea to understand the basic idea of it.
We show that the surface of an elliptic curve over the field $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ given by the equation
$\begin{eqnarray*} <br /> E \hspace{2mm} : \hspace{2mm} y^2=4x^3+Ax^2+B,<br /> \end{eqnarray*}$
where $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ are (constant) elements of the field $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , is isomorphic to a torus. This helps us to give an interpretation of the genus.

We start with the complex plane and construct a lattice with two independent elements $\begin{eqnarray*} \omega_1 \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ .
We then have the lattice given by $\begin{eqnarray*} \Omega:=\{n_1\omega_1+n_2\omega_2: n_1, n_2 \in \mathbb{Z}\}. \end{eqnarray*}$
The quotient space $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}/\Omega \end{eqnarray*}$ is then given by the set of all equivalence classes $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ with $\begin{eqnarray*} [x]=\{x+\omega:\omega \in \Omega\} \end{eqnarray*}$

We know "glue" together all 4 edges of the plane. This results that $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}/\Omega \end{eqnarray*}$ forms a complex torus. A torus is something formed like a donut, with a hole inside.
We can consider the genus of a surface as the amount of holes inside. Thus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}/\Omega \end{eqnarray*}$ has genus 1.

We define for $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p}(z)=\frac{1}{z^2}+\sum\limits_{\omega \in \Omega\setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\right) \end{eqnarray*}$ to be the \textit{Weierstrass elliptic function}.

Also we define for a lattice $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ the Eisenstein series with weight $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ as the infinite sum given by $\begin{eqnarray*} G_k(\Omega)=\sum\limits_{\omega \in \Omega\setminus \{0\}}\omega^{-k}. \end{eqnarray*}$

One can now prove the relation $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{p}'(z))^2=4\mathfrak{p}^3(z)-g_2(\Omega)\mathfrak{p}(z)-g_3(\Omega) \end{eqnarray*}$ with $\begin{eqnarray*} g_2(\Omega)=60G_4(\Omega) \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} g_3(\Omega)=140G_6(\Omega) \end{eqnarray*}$ .
By setting $\begin{eqnarray*} y:=\mathfrak{p}'(z) \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} x:=\mathfrak{p}(z) \end{eqnarray*}$ we can define $\begin{eqnarray*} A:=-60G_4(\Omega) \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} B:=-140G_6(\Omega) \end{eqnarray*}$ , which shows that the curve is isomorphic to a torus.
Therefore the curve $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ has as well genus 1.

In fact it also works the other way around. For any $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ and

$\begin{eqnarray*} <br /> E \hspace{2mm} : \hspace{2mm} y^2=4x^3+Ax^2+B,<br /> \end{eqnarray*}$

we can find a lattice such that $\begin{eqnarray*} A=-60G_4(\Omega) \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} B=-140G_6(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Es steht nicht besonders hübsch da, und es ist aus dem Englischen weil der Vortrag auf Englisch war, aber das war, was ich dazu hatte;
Das war laut dem Prof nichts zwangsläufig falsch, aber auch nicht perfekt; Er will jetzt einen kleinen Vortrag für alle machen, damit das klarer wird...

LG

03.05.2017, 11:24

Elvis

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Das hätte ich fast genau so gemacht. Wenn du kannst, veröffentliche bitte den kleinen Vortrag deines Professors, vielleicht verstehe ich dann auch endlich, wie das (topologische) Geschlecht des Torus mit dem (algebraischen) Geschlecht der elliptischen Kurve zusammenhängt. Mir ist im wesentlichen nur klar, dass die elliptische Funktion auf der Riemannschen Fläche definiert ist und dass diese Fläche ein Torus ist. (Kein komplexer Torus, sondern ein ganz normaler Torus. Es werden nicht nur Punkte identifiziert, sondern Kanten.)

03.05.2017, 11:50

Matheneuling1991

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Hm, wenn du es selbst nicht weißt, obwohl du es wirklich wissen möchtest, scheint das gesamte Thema wirklich nicht so ganz einfach zu sein, nehme ich an...

Wenn er einen Vortrag mit einer Präsentation macht, dann frage ich nach den Folien, wenn er das allerdings hauptsächlich an der Tafel macht mit ein paar wenigen Folien mit Bildern, wie ein Torus aussieht, dann kann ich scchlecht den Vortrag mit dem Handy filmen;
Also kann ich nichts versprechen; Aber ich gebe dir auf jeden Fall noch Bescheid..

LG

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