Folgen | Komponentenfolgen

30.04.2017, 17:51

leyla.1

Folgen | Komponentenfolgen

Geben Sie zu folgenden Punkten jeweils ein Beispiel an. Zeigen Sie, dass ihr Beispiel die gefordeten Eigenschaften erfüllt.

(i) Eine beschränkte Folge im $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , welche nicht konvergiert.
(ii) Eine unbeschränkte Folge im $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , die eine konvergente Komponentenfolge besitzt
(iii) Eine unbeschränkte Folge im $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , die eine konvergente Teilfolge besitzt.

Ich habe jetzt eine Folge gefunden, wie soll ich aber jetzt zeigen, dass die Folge nicht konvergiert und beschränkt ist?

(i)

$\begin{align*} (\vec{x}_k)_{k \in \mathbb{N}} \ \ \ \ \vec{x}_k:=(-1)^{k} \end{align*}$

$\begin{align*} (\vec{x}_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{align*}$ heißt konvergent gegen $\begin{align*} \vec{a} \in \mathbb{R}^2 \end{align*}$ wenn

$\begin{align*} \lim_{k \to \infty}|\vec{x}_k-\vec{a}|=0 \end{align*}$ gilt.

02.05.2017, 08:56

klarsoweit

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RE: Folgen | Komponentenfolgen
Ich frage mich, wie $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ eine Folge im R² sein kann. verwirrt

02.05.2017, 20:54

leyla.1

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Ich habe Mist gebaut. Habe R mit R^2 verwechselt.

Tut mir sehr leid.

(i)

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n)= \begin{pmatrix} sin(n) \\cos(n)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht eine Folge zusammenzubauen, welche aus zwei beschränkten, nicht konvergierenden Folgen besteht.
Ist das richtig? Aber weiß leider hier auch nicht, wie ich sowas zeige.

03.05.2017, 09:33

klarsoweit

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Die Folge $\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n)= \begin{pmatrix} sin(n) \\cos(n)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre durchaus eine Möglichkeit für eine beschränkte, nicht konvergente Folge. Der Nachweis ist dann doch etwas lästig. Deine erste Idee, irgendwas mit $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ zu machen, war ja auch nicht völlig abwegig. Man muß sie ja nur auf den R² erweitern, z.B. $\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n)= \begin{pmatrix} (-1)^n \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

03.05.2017, 15:06

leyla.1

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Ohh oki. Danke. smile

Die Folge $\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n)= \begin{pmatrix} (-1)^n \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist konvergent gegen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ||\vec{x}_n -\vec{a}||=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \left|\left|\begin{pmatrix} (-1)^n \\ 0 \end{pmatrix}-\vec{a}\right|\right|=\sqrt{\underbrace{((-1)^n-a_1)^2}_{\geq 0}+\underbrace{(-a_2)^2}_{\geq 0}}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht weiter. verwirrt

03.05.2017, 15:17

klarsoweit

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Nun ja, offensichtlich muß a_2 = 0 sein und $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ gegen a_1 konvergieren, was aber nicht geht, da $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert.

03.05.2017, 15:29

leyla.1

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Danke!!! Das hat mich auf eine Idee gebracht.

$\begin{eqnarray*} \left|\left|\begin{pmatrix} (-1)^n \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \end{pmatrix}\right|\right|=\sqrt{\underbrace{((-1)^n-a_1)^2}_{\geq 0}} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Bei n = 2k gerade

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\underbrace{(-1)^{2k}}_{const \ 1}-a_1)^2} \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow a_1=1 \end{eqnarray*}$

Bei n= 2k+1 ungerade

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\underbrace{(-1)^{2k}}_{const \ -1}-a_1)^2} \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow a_1=-1 \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

Bitte sag, dass das richtig ist. Big Laugh

03.05.2017, 15:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von leyla.1
Bei n= 2k+1 ungerade

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\underbrace{(-1)^{2k}}_{const \ -1}-a_1)^2} \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow a_1=-1 \end{eqnarray*}$

Wenn man das noch korrigiert zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\underbrace{(-1)^{2k+1}}_{const \ -1}-a_1)^2} \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow a_1=-1 \end{eqnarray*}$ , kann ich mich damit anfreunden. Vielleicht muß man das Ganze noch formal etwas aufhübschen.

03.05.2017, 16:20

leyla.1

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(ii) Eine unbeschränkte Folge im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , die eine konvergente Komponentenfolge besitzt

Im zweiten Teil bekomme ich keine "unbeschränkte" Folge hin. Habe mir überlegt eine unbeschränkte, divergente Folge zu nehmen z.B. n. Allerdings wenn ich mir jetzt eine konvergente Folge nehme z.B. $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wird die gesamte Folge wieder beschränkt. verwirrt

04.05.2017, 09:32

klarsoweit

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Vielleicht habe ich in meiner Analysis-Vorlesung etwas verpaßt, aber im Moment stolpere ich über die Frage, was eine Komponentenfolge im Unterschied zu einer Teilfolge ist. verwirrt

04.05.2017, 09:39

HAL 9000

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Obwohl auch mir der Begriff nicht geläufig ist, so würde ich doch vermuten, dass damit zugeordnet zur Vektorfolge $\begin{align*} ((x_n,y_n))_n \end{align*}$ die beiden Folgen $\begin{align*} (x_n)_n \end{align*}$ und $\begin{align*} (y_n)_n \end{align*}$ gemeint sind. Augenzwinkern

04.05.2017, 10:01

klarsoweit

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RE: Folgen | Komponentenfolgen
Danke für den Hinweis. Dann ist doch eine Folge, die dieses erfüllt:

Zitat:

Original von leyla.1
(ii) Eine unbeschränkte Folge im $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , die eine konvergente Komponentenfolge besitzt

relativ simpel zu konstruieren.

05.05.2017, 21:12

leyla.1

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Hmm hätte jetzt an sowas gedacht? Passt die Folge? verwirrt

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n)= \begin{pmatrix} 1 \\x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.05.2017, 11:15

klarsoweit

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Was soll denn jetzt das x sein? Vielleicht meinst du eher so etwas:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n) = \begin{pmatrix} 1 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ smile

07.05.2017, 17:20

leyla.1

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Ohh ja.

Also ich weiß auf jeden Fall wie man die Konvergenz zeigt. Ich weiß allerdings nicht wie man zeigt, dass die Folge beschränkt oder unbeschränkt ist.

Reicht es da einfach zu zeigen, dass die Folgenglieder von n gegen Unendlich wandern?

Also:
Damit eine Folge konvergiert, müssen alle Komponentenfolgen konvergieren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}n= \infty \Rightarrow \text{Komponentenfolge unbeschränkt: das bedeutet, dass die Folge} \ \ (\vec{x}_n) \ \ \text{nicht konvergiert} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \end{eqnarray*}$ sind alle Folgenglieder gleich eins, also konvergiert die Komponentenfolge gegen eins.

Somit sind beide Eigenschaften erfüllt: Die Folge $\begin{eqnarray*} (\vec{x}_n) \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt und besitzt eine konvergente Komponentenfolge.

Ist das ausreichend? verwirrt

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