Stationäre Punkte eines DGL-Systems

01.05.2017, 20:28	Musican	Auf diesen Beitrag antworten »
Stationäre Punkte eines DGL-Systems Meine Frage: Hallo, liebe Mitmathematiker, für meine Abgabe diese Woche bräuchte ich einmal Hilfe zum Verständnis der angehängten Aufgabe. Meine Ideen: Für Aufgabe 1a) beispielsweise habe ich wie gefordert zuerst die Nullklinen bestimmt. Ich habe also geschaut, unter welchen Bedingungen die beiden DGL's (einzelnd gesehen) 0 werden. Für $\begin{eqnarray} x' = x² - y² = 0 \end{eqnarray}$ ergibt sich die x'-Nulkline aus : $\begin{eqnarray} x' = 0 \text{ g.d.w. } y = x \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} y' = x(1-y) = 0 \end{eqnarray}$ ergeben sich die y'-Nullklinen : $\begin{eqnarray} y' = 0 \text{ g.d.w } x=0 \vee y=1 \end{eqnarray}$ Das heißt, ich habe letztendlich 3 Geraden in meine X-Y-Phasenebene eingezeichnet. Jetzt habe ich geschaut, an welchen Punkten sich die X-Isoklinen mit den Y-Isoklinen schneiden. Daraus ergeben sich die beiden stationären Punkte : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Nun soll ich die Punkte mittels linearer Stabilitätsanalyse auf ihren Stabilitätstyp testen. Heißt das, ich trage auf irgendeine Weise die Flussvektoren ins Phasendiagramm ein und entscheide dann danach, ob die Vektoren auf die Punkte zulaufen oder davon wegführen? Oder überführe ich das DGL-System in eine Matrix-Vektor-Schreibweise und argumentiere dann anhand der Eigenwerte? Oder habe ich da was völlig falsch verstanden? Über Hilfe wäre ich wirklich sehr sehr dankbar.. EDIT: Wenn ich mein bisheriges Schema zur grafischen Ermittlung der stationären Punkte so fortführe finde ich bei 1b) die stat. Punkte - (0,0) und (1,0). Könnte das vielleicht jemand bestätigen?

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