Taylor-Reihe

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Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe
Hey ihr lieben ich habe folgende Aufgabe:

Mit dem Aufgabenteil a und b bin ich sehr gut klar gekommen ich bin jetzt im Aufgabenteil c) und habe ein Problem die Reihe darzustellen. Gibt es eine bestimmte Formel oder wie kommt man auf diese?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

[Artikel] Taylorapproximation

Die Reihe konvergiert wenn das Restglied im Limes Null wird.
Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich denn auf die Reihe ? Gibt es dafür eine Formel?

Habe als Taylor-Polynom 4ten Grades mit dem Entwicklungspunkt x0=0
Das hier raus bekommen:

x-x^2+x^3-x^4

Wie komme ich von das hier auf die Reihe..?
Klar ich könnte mir das selber zurecht basteln die Reihe aber ich frage mich ob es doch nicht eine Formel oder so gibt?
sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo kann mir einer helfen ? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



Wie bist du denn auf das bisherige Ergebnis gekommen?
Und, das ist doch die Reihe bis zur 4. Potenz verwirrt
Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auf die Reihe gekommen und das habe ich raus bekommen indem ich einfach nachgedacht habe also ohne eine Formel oder so..

Der Taylor-Polynom 4ter Ordnung ist doch nur bis x^{4} ... ?
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Respekt ! allein durch Nachdenken Freude

Wird das z.B. in einer Klausur akzeptiert?

Es geht darum, für welche x

derart gilt dass für das Restglied nach Null strebt, d.h. die Funktion durch die unendliche Reihe dargestellt werden kann.
Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein sowas wird bestimmt nicht akzeptiert in der Klausur..
Gibt es denn eine bestimmte Formel?
Wenn das Restglied gegen 0 Strebt Konvergiert also die Reihe hmm verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

keine Vorlesung?
die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt Null heißt Mc.Laurinreihe:

für ein zwischen 0 und x. für welche x strebt das Restglied nach Null ?


Folgendes ist ein Link zu einem Workshop von Cel ( anklicken ! )

[Artikel] Taylorapproximation
sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn der Zähler kleiner ist als der nenner würde es gegen 0 streben. Also muss x<(n+1)! sein oder verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1

Was hat n mit x zu tun? . Nicht argumentieren, schreib mal das Restglied dieser Mc.Laurinreihe auf.

ist unbekannt zwischen 0 und x , muss deshalb ungünstigst vorausgesetzt werden.
sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kurz mal zusammengefasst:

Die Taylor-Reihe zu einer gegebenen Funktion f konvergiert genau dann gegen die Funktion f wenn:

.


Also wir haben die Reihe :

bzw.



Wie soll ich nun das Restglied Allgemein bestimmen ?
soll ich es für ein "bestimmtes" n bestimmen ? (In der Aufgabe sollte ich ja das Taylorpolynom 4.Ordnung bestimmen..)
Ich frage mich nun wenn der Grenzwert von Rn gleich 0 ist habe ich dann damit gezeigt das die Funktion und die Reihe identisch sind ? Und wenn nein wie kann ich zeigen das eine Reihe und eine Funktion die selben sind ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sl12



Wie soll ich nun das Restglied Allgemein bestimmen ?


c.)

könntest du das Restglied auf den Fall bezogen anschreiben ? Der vordere Teil ist ja auch fallbezogen ! Das bleibt vorerst erhalten.

Also: das allgemeine letzte Glied ist das "nächste" Glied mit statt Null in der Ableitung ist gesucht.
sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich weiß ja nicht was die nte Ableitung ist ich kenne ja "nur" die 4 ersten Ableitungen ...

Ich erkenne halt das der Zähler in Fakultät immer wächst also etwa so :



für n>=2 und wenn ich Xi einsetze müsste

sein. Mhh...

wie schreibt man eigentlich den buchstaben xi ?
Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo?? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

was rechnest du da alles zusammen verwirrt

das Restglied ist
xi hat einfach einen Backslash davor.

Und jetzt ist zu überlegen für welche x gilt.

Zur Gedankenstütze :



also mit ganz wird das wohl nix.
Sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich habe einfach die nte Ableitung gebildet verwirrt wie bist du auf das Restglied gekommen?
Naja ich beschäftige mich am besten selber damit Big Laugh
Das sieht mir bisschen aus wie die Geometrische Reihe. verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die n+1-te Ableitung an der Stelle geteilt durch mal ist

nachrechnen! Bei der limes-Bildung ist stets als maximal "ungünstig" anzunehmen geschockt
der Graph legt einem doch warm ans Herz.
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am besten du übst mal mit so etwas wie
sl12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und wie würde ich ohne eine Zeichnung drauf kommen das für x (-1;1) die reihe Konvergiert bzw. das der restglied gegen 0 Konvergiert ?

Soll ich dann einfach x werte einsetzen und schauen ob die gegen 0 Konvergieren ? Was würdest du mir da raten ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da muss man eben etwas mathematischen Verstand besitzen, der baut sich aber nur durch lernen und Üben auf, einen Königsweg dazu gibt es nicht.
----> der König und sein Mathematiker im alten Griechenland.

1.) Wissen: eine Taylorreihe liefert punktweise Konvergenz am Entwicklungspunkt. Die Konvergenzgeschwindigkeit nimmt mit dem Abstand dazu ab.
so konvergiert z.B. die sinusreihe zwar überall, wer aber sin(18.753) in die Originalreihe einsetzt ist selbst Schuld.

2.) Sehen: f(x) hat die Polstelle -1. Ein Polynom kann so etwas nicht liefern oder gar überspringen.

3.) Überlegen: Der Rest ( |x|<1 ) bedeutet dann ein wenig mit den Grenzwerten spielen.
Der Zähler strebt nach Null und die Nennerbasis ist größer als der Zählerbasis - alles im Betrag -
Für 0 < x < 1 ist die Nennerbasis sogar >1. Wink

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Edit: das angegebene Restglied ist nicht ganz richtig, im Wesentlichen aber schon !
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