Einstieg in Differentialgleichungen

02.05.2017, 14:19

rüven

Einstieg in Differentialgleichungen

Hallo, wäre schön wenn jemand meine Lsg. zu folgenden Aufgaben kontrollieren könnte, bzw. mir an ein zwei Stellen ein wenig Denkanstoß geben könnte. Danke im voraus.
Ich hänge die Aufgaben einfach mal an.

Bei der ersten Afg. umstellen:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\sin(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =\sin(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(x)}\cdot dy =\sin(x) \cdot dx \end{eqnarray*}$

Alles aufintegrieren ergibt:
$\begin{eqnarray*} ln| y | =-cos(x)+C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C= C_{2} - C_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | y |=e^{-cos(x)+C} \end{eqnarray*}$

Und Anfangswertproblem loesen:

$\begin{eqnarray*} 1=e^{-1+C} fuer C=1 \end{eqnarray*}$
damit gilt:
$\begin{eqnarray*} | y | = e^{-cos(x)+1} \end{eqnarray*}$
Die gegebene DGL ist 1. Ordnung und ist gewoehnlich.
Allerdings weiss ich nicht, wie ich jetzt den maximalen Def bereich der Fkt. angeben soll. Es hat iwas mit dem Betrag zutun, schaetze ich.

Bei der zweiten Aufgabe:

Soll man rein aus der DGL bestimmen, wann die Wachstumsrate maximal ist.
bei
$\begin{eqnarray*} t_{0} = 0 \end{eqnarray*}$
ist das doch eig. bei allen Faellen der Fall oder? Ich meine, b ist immer positiv und damit kann e nur maximal 1 werden, wenn der Exponent 0 wird. Ausser die Zeit ist negativ, aber das macht keinen Sinn. verwirrt

Das Loesen der DGL:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = ae^{-bt}y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}dy = ae^{-bt}dt \end{eqnarray*}$
aufintegrieren:
$\begin{eqnarray*} ln| y | = -\frac{1}{b} e^{-bt} a+C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C= C_{2} - C_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | y | = e^{-\frac{1}{b}ae^{-bt} + C } \end{eqnarray*}$
Daraus folgt mit dem Anfangswertproblem:
$\begin{eqnarray*} | y_{0} | = e^{-\frac{1}{b}a+C } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln| y_{0} | = -\frac{1}{b} a + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = ln| y_{0} | + \frac{1}{b} a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | y | = e^{-\frac{1}{b}ae^{-bt}+ln| y_{0} |+\frac{1}{b}a } \end{eqnarray*}$
Nun lassen wir die Loesungsfkt. gegen lim unendlich laufen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } e^{-\frac{1}{b}ae^{-bt}+ln| y_{0} |+\frac{1}{b}a } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = | y_{0} | e^{\frac{1}{b}a} \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabe war ich mir sehr unsicher.

Und nun zur letzten:
Wieder, wie bei 1. Loesen und danach schauen, fuer was die Fkt. nicht definiert ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = e^{y} \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{y}}dy = \sin(x) dx \end{eqnarray*}$
wieder aufintegrieren:
$\begin{eqnarray*} -e^{-y} = -cos(x)+C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C= C_{2} - C_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = -ln(cos(x)-C) \end{eqnarray*}$
Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} cos(x)-C>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x)>C \end{eqnarray*}$
Das ist die Bedingung?
Wuerde mich ueber Hilfe freuen. smile

02.05.2017, 16:16

HAL 9000

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RE: Einstieg in Differentialgleichungen

Zitat:

Original von rüven
Und Anfangswertproblem loesen:

$\begin{eqnarray*} 1=e^{-1+C} fuer C=1 \end{eqnarray*}$
damit gilt:
$\begin{eqnarray*} | y | = e^{-cos(x)+1} \end{eqnarray*}$

Im Sinne einer klaren Trennung von Aufgabe und Lösung wäre es hilfreich gewesen, die Anfangsbedingung erstmal nur zu nennen, bevor sie in die Lösung eingearbeitet wird. Ich nehme an, sie lautete hier $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ , oder (EDIT: Ah Ok, unten ist noch ein Scan angehängt) ? Dann ist die Lösung aber nicht $\begin{eqnarray*} | y | = e^{-\cos(x)+1} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} y = e^{-\cos(x)+1} \end{eqnarray*}$ , die Betragsstriche haben da nichts mehr zu suchen.

Zum Vergleich: Bei Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=-1 \end{eqnarray*}$ hingegen wäre die Lösung $\begin{eqnarray*} y = -e^{-\cos(x)+1} \end{eqnarray*}$ .

Ähnliches solltest du dann auch bei der zweiten Aufgabe beachten.

Zitat:

Original von rüven
Allerdings weiss ich nicht, wie ich jetzt den maximalen Def bereich der Fkt. angeben soll.

M.E. will hier wohl jemand eine Falle stellen: Im Gegensatz zu $\begin{align*} y' = \sin(x)\cdot y(x) \end{align*}$ ist die original angegebene DGL

$\begin{align*} \frac{y'}{\cos(x)} = \tan(x)\cdot y(x) \end{align*}$

nicht für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ definiert...

Zitat:

Original von rüven
$\begin{eqnarray*} cos(x)>C \end{eqnarray*}$
Das ist die Bedingung?

Die Bedingung an eine Konstante sollte nicht von variablen $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängen. Tatsächlich muss $\begin{eqnarray*} \cos(x)>C \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ gelten, oder anders formuliert

$\begin{eqnarray*} \min_{x\in\mathbb{R}} \cos(x)>C \end{eqnarray*}$ , sofern das Minimum existiert, oder

$\begin{eqnarray*} \inf_{x\in\mathbb{R}} \cos(x)\geq C \end{eqnarray*}$ , sofern das Minimum nicht existiert.

Das kann man natürlich auch noch einfacher schreiben, nicht wahr? Augenzwinkern

03.05.2017, 11:33

rüven

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Ok, schonmal danke. Jetzt hab ich noch ein paar Fragen.
1. Die 1. DGL ist ja für pi/2 + k k element der ganzen zahlen nicht definiert. Ist dann die Lösung der DGL ebenfalls dort nicht def.?
2. Das Anfangswertproblem ist ja y0=y(0) Muss ich hier nun eine Fallunterscheidung machen? (y0>0, y0<0) Weil da ist ja eig. ein Betrag und wir wissen nicht ob y0 pos oder neg ist.? Danach dann jeweils beide Fälle auf das asympt. Verhalten prüfen?
3.Wenn c<-1 ist die Fkt. doch auf ganz R definiert. Mein Kumpel hat da zustehen -1<=c<1 Ich mein cos pendelt ja nur zwischen 1 und -1, aber iwie häng ich da gerade. Bin mom. am Handy, deswegen keine Formeln.

03.05.2017, 12:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von rüven
Muss ich hier nun eine Fallunterscheidung machen? (y0>0, y0<0) Weil da ist ja eig. ein Betrag und wir wissen nicht ob y0 pos oder neg ist.?

Üblicherweise geht man in dieser Frage so vor:

Zitat:

Original von rüven
$\begin{eqnarray*} | y |=e^{-cos(x)+C} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet $\begin{align*} |y| = e^C\cdot e^{-\cos(x)} = C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ , indem man $\begin{align*} C_2:=e^C \end{align*}$ setzt.

In dieser Darstellung ist stets $\begin{align*} C_2>0 \end{align*}$ und die rechte Seite $\begin{align*} C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ ist durchgehend positiv, also niemals gleich Null. Diese fehlenden Nullstellen bedeuten dann für die Betragsauflösung, dass entweder $\begin{align*} y=C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt, oder aber $\begin{align*} y=-C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ , es gibt also keine "gemischten" Lösungen, wo intervallweise mal $\begin{align*} C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ und dann wieder mal $\begin{align*} -C_2\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ zum Zuge kommt, denn das würde wegen der Stetigkeit eine Nullstelle dazwischen benötigen.

Beide Lösungsstränge kann man nun zu $\begin{align*} y=C_3\cdot e^{-\cos(x)} \end{align*}$ mit beliebig reellen $\begin{align*} C_3 \end{align*}$ zusammenfassen. Eigentlich ja zunächst nur $\begin{align*} C_3\neq 0 \end{align*}$ , aber es zeigt sich, dass die zu $\begin{align*} C_3=0 \end{align*}$ gehörende Lösung $\begin{align*} y(x)=0 \end{align*}$ auch eine Lösung der DGL $\begin{align*} y'(x)=\sin(x) \cdot y(x) \end{align*}$ ist. Augenzwinkern

Dieses Schema ist praktisch bei allen linearen DGL anwendbar, so dass man diese Argumentationskette $\begin{align*} C\to C_2\to C_3 \end{align*}$ nicht jedesmal ausbreitet, sondern stillschweigend durchführt. smile

Zitat:

Original von rüven
3.Wenn c<-1 ist die Fkt. doch auf ganz R definiert.

Richtig, $\begin{align*} C<-1 \end{align*}$ ist die Bedingung dafür. Freude

Dein Kumpel liegt falsch, bei seinem Intervall gibt es dann Lücken in der Lösung.

03.05.2017, 17:39

rüven

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Ah, ok, vielen Dank.
Jetzt hab ich alles verstanden.
Freude

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