Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung

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02.05.2017, 18:45	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Meine Frage: Hey, Wir haben folgende Situation. Es ist eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve (I->R^2), die in einer Kreisscheibe mit Radius R verläuft gegeben. Für einen beliebigen Punkt im Inneren des Intervalls I berühre die Kurve den Rand der Kriesscheibe. Zu zeigen ist für die Krümmung der Kurve bei diesem bel. Punkt, dass die Krümmung dort >= 1/R ist. Meine Ideen: Ich hab absolut keinen Ansatz oder eine Idee, wie ich das zeigen könnte. Die Formel für die Krümmung kenne ich und ich weiß auch, wie man es an Beispielen ausrechnet...mehr allerdings nicht
03.05.2017, 11:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Parametrisiere mal den Kreis mit einer Kurve mit Bogenlänge. Dann berechne, dass die Krümmung gerade $\begin{eqnarray} \frac 1 R \end{eqnarray}$ ist. Wenn nun eine Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ im Inneren der Kreisscheibe $\begin{eqnarray} B_R \end{eqnarray}$ den Rand berührt, heißt es $\begin{eqnarray} \gamma(t) \in \partial B_R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma'(t) \end{eqnarray}$ ist Tangential zum Rand (in 2D also orthogonal zur Normalen). Falls nun die Krümmung kleiner als die des Randes selbst ist, so verlässt $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Kreisscheibe.
03.05.2017, 11:33	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Ich verstehe dein Vorgehen, aber ich weiß nicht, wie ich den Kreis mit einer Kurve mit Bogenlänge parametrisieren soll. Kannst du mal ein Beispiel machen?
03.05.2017, 11:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Ohne die Voraussetzung an die Bogenlänge, kriegst du ihn einfach so parametrisiert?
03.05.2017, 11:41	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Nein auch nicht
03.05.2017, 11:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Ok. Der Einheitskreis kann durch $\begin{eqnarray} \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta) \end{eqnarray}$ parametrisiert werden. Netterweise hat es sofort Bogenlänge. Jetzt darfst du mal rumspielen wie man das mit dem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ machen kann.
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03.05.2017, 11:43	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Intuitiv würde ich sagen, man setzt ein 1/R davor ?
03.05.2017, 11:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Nein. Und versuche ein wenig länger als 10 Sekunden drüber nachzudenken....
03.05.2017, 11:46	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Mach ich natürlich, war nur ne spontane Idee.
03.05.2017, 16:31	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Also ich hab jetzt raus, dass man den Vektor des Einheitskreises r nimmt und ggf den Mittelpunkt (x,y) dazu addiert, also sprich: f(t)=(x+rcos(t),y+r*sin(t)), aber dann ist ja die Krümmung eben nicht 1/r, sondern 1.
03.05.2017, 20:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Die Parametrisierung ist richtig, aber die Kruemmung ist falsch. Waere die Kruemmung einer Kreisscheibe unabhaengig vom Radius, so ist die Erde genauso stark gekruemmt wie ein Fussball oder Tennis-Ball. Die Boegenlaengen-Version der Parametrisierung waaere $\begin{eqnarray} f(\theta) = ( x + r \cos(\theta/r), y + r \sin(\theta/r)) \end{eqnarray}$ . Rechne damit noch einmal die Kruemmung nach.
03.05.2017, 20:47	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung einer ebenen Kurve, Abschätzung Ah super, hab es gelöst und verstanden Vielen lieben Dank!

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