Lineare Abhängigkeit mit linearen Gleichungssystem zeigen

02.05.2017, 19:32

Dumdidum123

Lineare Abhängigkeit mit linearen Gleichungssystem zeigen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe in meinem Mathebuch folgendes Beispiell gefunden.

Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig oder linear abhängig sind.

Vektor a: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , Vektor b: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , Vektor c: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit dem Kriterium für lineare (Un-)Abhängigkeit eine Linearkombination mit dem Nullvektor aufgestellt:

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich daraus ein lin. Gleichungssystem aufstelle, erhalte ich letztlich 0=0.
Im Buch steht aber, dass die Vektorgleichung nichttriviale Lösungen hat und die Vektoren a, b und c also lin. abhängig seien.
Es ist auch eine mögiche Lösung angegeben:
r=2, s=-1 und t=-1
Aber wie komme ich darauf, wenn das lin. Gleichungssystem nur eine wahre Aussage wie 0=0 ergibt?

03.05.2017, 10:22

klauss

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RE: Lineare Abhängigkeit mit linearen Gleichungssystem zeigen
Der Ansatz ist richtig, aber Du müßtest ggf. noch klarstellen, wie Du auf

Zitat:

Wenn ich daraus ein lin. Gleichungssystem aufstelle, erhalte ich letztlich 0=0.

gekommen bist.

Mit einem lin. Gleichungssystem erhältst Du den gesamten Lösungsraum für $\begin{align*} \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{align*}$ , der hier $\begin{align*} \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ lautet. Das sind unendlich viele Lösungen, also nicht ausschließlich die triviale Lösung, womit lin. Abhängigkeit gezeigt ist.

Alternativ kann man natürlich die lineare Abhängigkeit auch mit der Determinante zeigen, wenn diese Möglichkeit zur Verfügung steht.

03.05.2017, 13:08

Dumdidum123

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RE: Lineare Abhängigkeit mit linearen Gleichungssystem zeigen
Ich frage mich einfach, wie ich auf mögliche Lösungen komme?

03.05.2017, 13:19

klauss

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RE: Lineare Abhängigkeit mit linearen Gleichungssystem zeigen
Ich habe oben ja schon alle Lösungen angegeben. Das ist das Ergebnis, wenn man das Gleichungssystem für r, s, t löst. Den Weg hierzu tippe ich aber nicht ein. Wenn Du das Gleichungssystem nicht lösen konntest, müßtest Du nun Deinen Ansatz posten, dann kann Dir evtl. Schritt für Schritt geholfen werden.

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