Irrationale Zahl zwischen reellen Zahlen

02.05.2017, 20:38

scrt

Irrationale Zahl zwischen reellen Zahlen

Hallo, ich hab diesen Sommer angefangen Informatik zu studieren, komme allerdings mit der Mathematik überhaupt nicht zurecht. In der Schule hatte ich eigentlich nie Probleme mit Mathematik. Allerdings weiß ich hier nicht einmal wie ich die Aufgaben angehen soll. Ich hab die Skripte Durchgeschaut und war in den Übungen allerdings tappe ich immer noch im Dunkeln.

Hier die Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} c, d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c < d \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es eine irrationale Zahl r mit $\begin{eqnarray*} a < r < b \end{eqnarray*}$ gibt.

Mein Brainstormin...

Naja, ich weiß dass $\begin{eqnarray*} r \in ]a ; b[ \end{eqnarray*}$
Und ich weiß dass sich r nicht darstellen lässt als Bruch von zwei ganzen Zahlen.
Aber wie Zeige ich dass sich eine Zahl die sich nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen zwischen c und d befindet ....

Ich bin am verzweifeln böse

Ich würde mich freuen wenn mir jemand nen Knochen hin werfen könnte, irgend ein Tipp wie man bei solchen Aufgaben vorgeht...

02.05.2017, 21:42

HAL 9000

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a,b ? c,d ?

Zitat:

Original von scrt
Es seien $\begin{eqnarray*} c, d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c < d \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es eine irrationale Zahl r mit $\begin{eqnarray*} a < r < b \end{eqnarray*}$ gibt.

Ähem... lautet die Aufgabe nicht eher

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es eine irrationale Zahl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < r < b \end{eqnarray*}$ gibt.

02.05.2017, 22:25

scrt

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Huch, ja natürlich du hast recht. Ich weiß nicht wie das passiert ist verwirrt

leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren.

Hat keiner nen Tipp ? :/

02.05.2017, 23:28

005

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Als Informatiker koenntest Du es ja konstruktiv angehen. Waehle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ so gross, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<b-a \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt markierst Du irrationale Probepunkte auf dem Zahlenstral im Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , also z.B.

$\begin{eqnarray*} \ldots,\sqrt{2}-\frac{2}{n},\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2},\sqrt{2}+\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{2}{n},\ldots \end{eqnarray*}$

Danach musst Du noch die Frage diskutieren, ob nicht mindestens ein Probepunkt im Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ liegen muss.

03.05.2017, 08:30

Leopold

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Man könnte auch mit den Dezimalbruchdarstellungen argumentieren. Irrationale Zahlen besitzen unendlich-nichtperiodische Dezimalbrüche.

Vielleicht zeige ich an einem Beispiel, wie man vorgehen könnte.

$\begin{align*} a = \frac{\sqrt{30}}{20} = 0{,}273861 \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} b = \frac{800}{2921} = 0{,}273878 \ldots \end{align*}$

Und jetzt hängen wir einfach die Dezimalen von $\begin{align*} \sqrt{2} = 1{,} \color{red} 4142135 \ldots \end{align*}$ an einem Wert dazwischen an:

$\begin{align*} r = 0{,}273868 \color{red} 4142135 \ldots \end{align*}$

Jetzt ist $\begin{align*} r \end{align*}$ eine irrationale Zahl zwischen $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ .

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