Beweis in der Stochastik

02.05.2017, 21:52

Jimm

Beweis in der Stochastik

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

Ich habe hier eine Aufgabe von einer Altklausur zur Stochastik, wo es darum geht einen Beweis zu machen.
Die Aufgabe geht wie folgt:

Sei (Omega, P) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und seien $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq Omega \end{eqnarray*}$ Ereignisse.
(a) Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} P(A) \leq P(B) \end{eqnarray*}$ .
(b) Zeigen Sie: Falls P(A) = 1 gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(B) \end{eqnarray*}$ . ).

Meine Ideen:
Ich finde da leider keinen Ansatz
Ich würde das mit einer Argumentation machen, aber bin mir da nicht sicher, ob es dann auch ein Beweis wäre.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen Big Laugh

.

Danke im Voraus

Grüße Jimmy

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

03.05.2017, 10:56

SHigh

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RE: Beweis in der Stochastik

Zitat:

Ich würde das mit einer Argumentation machen, aber bin mir da nicht sicher, ob es dann auch ein Beweis wäre

Schwierig zu beurteilen, da du ja alles für dich behälst und uns nicht an deinen Ideen teilhaben lässt.

(a) $\begin{eqnarray*} B=A\cup C \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} C\subset \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \cap C = \emptyset \end{eqnarray*}$ und nutze die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität des W-maßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ aus. Dann bist du fast fertig.

04.05.2017, 09:08

Jimm

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RE: Beweis in der Stochastik
Hallo SHigh!

Ja ich hätte etwas mehr erläutern sollen, also ich habe durch deinem Tipp a) schon etwas mehr ausgearbeitet :

Ich müsste doch noch begründen mit: $\begin{eqnarray*} C\subset \Omega \end{eqnarray*}$ existiert: Die Menge $\begin{eqnarray*} C:=B/A \end{eqnarray*}$

Die Additivität von P liefert: $\begin{eqnarray*} P(B)=P(A)+P(C) \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} P(C) \ge 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} P(B)=P(A)+P(C) \ge P(A) \end{eqnarray*}$ .

Reicht das denn als Begründung?

Für b) betrachte zunächst die Darstellung $\begin{eqnarray*} B = (A \cap B) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup (B/A) \end{eqnarray*}$ . und ich wende dann wieder die Additivität von P an.
Aber hier fehlt mir die Begründung.
Oh und danke für deine Hilfe Big Laugh

Grüße Jimmy

04.05.2017, 09:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jimm
Für b) betrachte zunächst die Darstellung $\begin{eqnarray*} B = (A \cap B) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup (B/A) \end{eqnarray*}$ . und ich wende dann wieder die Additivität von P an.

Grundsätzlich erstmal richtig, es fehlt nur noch ein Baustein: Es ist $\begin{align*} B\setminus A = B\cap A^c \subseteq A^c \end{align*}$ , damit folgt mit (a) sowie unter Berücksichtigung von P $\begin{align*} (A)=1 \end{align*}$ dann ...

04.05.2017, 18:20

Jimm

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Okay also ich habe das jetzt soweit:

Wegen $\begin{eqnarray*} B = (A \cap B) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup (B/A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A \cap B) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup (B/A) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ liefert die Additivität von P die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} P(B)=(A \cap B) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +P(B/A) \end{eqnarray*}$ .

Es genügt also, $\begin{eqnarray*} P(B/A)=0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Wegen $\begin{eqnarray*} B/A \subseteq A^c \end{eqnarray*}$ gilt nach a)

$\begin{eqnarray*} P(B/A) \leq P(A^c) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1- P(A)=1-1=0 \end{eqnarray*}$

und somit tatsächlich $\begin{eqnarray*} P(B/A)=0. \end{eqnarray*}$

Das wäre bei b) mein Ergebnis ist es bis dahin richtig?

04.05.2017, 18:31

HAL 9000

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"Bis dahin" ist es richtig, und viel ist ja nun nicht mehr zu tun. Augenzwinkern

04.05.2017, 18:46

Jimm

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Okay
vielen herzlichen Dank an euch beiden.
Dank euch beiden habe ich es verstanden Freude

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