Laurentreihe bestimmen

02.05.2017, 22:01	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe bestimmen Liebes Forum, ich komme bei folgender Aufgabe nur bedingt weiter: Gesucht sind die Laurantreihen von $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{2}{z^2+2iz} \end{eqnarray}$ um die beiden Singularitäten $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -2i \end{eqnarray}$ . Als erstes habe ich die Partialbruchzerlegung gemacht. $\begin{eqnarray} f(z)=-\frac{i}{z}+\frac{i}{z+2i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{i}{z}=-iz^{-1} \end{eqnarray}$ ist schon von der Form wie wir es wollen. Zunächst Entwicklung um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Man kann die Kreisringe $\begin{eqnarray} K_1:=\{z \in \mathbb{C}: 0<\|z\|<2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2:=\{z \in \mathbb{C}: \|z\|>2\} \end{eqnarray}$ gesondert betrachten. Durch Herausheben im Nenner erhalten wir: $\begin{eqnarray} \frac{i}{z+2i} = \frac{i}{(\frac{z}{2i}+1)2i} =...=\sum \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{i}{z+2i} = \frac{i}{(1+\frac{2i}{z})z} =...=\sum \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ Insgesamt krieg ich also alle Koeffizienten der Laurentreihe um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Wie gehe ich aber jetzt vor, wenn ich um $\begin{eqnarray} -2i \end{eqnarray}$ entwickle? Mir fällt nicht ein, wie ich hier geeignet heraushebe, sodass ich in eine brauchbare geeignete geometrische Reihe erhalte.. Allgemein soll diese Reihe ja so aussehen: $\begin{eqnarray} \sum_{z \in \mathbb{Z}} a_n (z+2i)^n \end{eqnarray}$ Danke für Hilfe!
03.05.2017, 09:05	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich finde es nützlich eine neue Variable einzuführen: w:=z+2*i. Dann kann man nach w entwickeln. Gruß pwm
03.05.2017, 17:36	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort. Was meinst du genau mit nach $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ entwickeln? Wenn wir um $\begin{eqnarray} -2i \end{eqnarray}$ entwickeln, heißt das ja, dass die Laurentreihe dann so aussehen soll: $\begin{eqnarray} \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z+2i)^n \end{eqnarray}$ Und man will doch die Formel für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ verwenden oder? Dazu muss man geeignet herausheben, ich sehe aber nicht wie..
03.05.2017, 18:15	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht doch um $\begin{eqnarray} \frac{1}{z}=\frac{1}{w-2i}=-\frac{1}{2i} \frac{1}{1-\frac{w}{2i}} \end{eqnarray}$ und damit hast Du eine geometrische Reihe mit w/(2i). Gruß pwm
03.05.2017, 21:23	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank, alles klar!

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