Möbiustransformation lösen

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Jessically Auf diesen Beitrag antworten »
Möbiustransformation lösen
Meine Frage:
Nabend zusammen!

Ich hänge gerade bei folgender Aufgabe:

Bestimme die Möbiustransformation, die auf die obere Halbebene abbildet und die Punkte in die Punkte überführt.

Ich finde die Aufgabe ein bisschen komisch gestellt, gehe aber mal davon aus das zwei verschiedene Möbiustransformationen gesucht werden und teile diese somit in a) und b) auf.

Meine Ideen:
zu b)
In unserer Vorlesung haben wir keine genaue Vorgehensweise besprochen, weshalb ich ein wenig gegoogelt habe und auf den 6-Punkte-Satz gestoßen bin (siehe Anhang), diesen habe ich hier versucht anzuwenden:

Gesucht ist also die MT (Möbiustransformation) für die gilt ,
und .

6-Punkte-Satz anwenden:


somit hätte ich a,b,c,d gefunden, aber der Test zeigt das dies nicht irgendwie nicht richtig ist:
das ist ok


dies stimmt also schon nicht
und

auch nicht.
Aber ich verstehe nicht was ich falsch gemacht habe.
Würde mich sehr über jegliches Feedback freuen! Auch gerne Vorschläge für andere Lösungswege smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich ist das eine Möbius-Transformation und nicht deren zwei, die Aufgabe ist sinnvoll gestellt und zeigt, dass Möbius-transformationen recht leistungsfähig sind. Die Umkehrung der gesuchten Transformation (oder so etwas ähnliches) ist als Cayley-Abbildung bekannt und bildet die obere Halbebene auf den Einheitskreis ab.

Du hast einen kleinen Vorzeichenfehler im Nenner, denn 1*(-1)=-1 und nicht +1.

Bei wiki findest du eine Möglichkeit, die Transformation zu berechnen. https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation "Zufällig" ist das Bild auch noch der Standard. Man erkennt daran, dass dein Ansatz völlig richtig ist, aber bekanntlich ist in der praktischen Mathematik nichts beliebter als Vorzeichenfehler.
 
 
Jessically Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Nein, da ist es nur so ein blöder Vorzeichenfehler Hammer

Aber Danke schonmal !

Ich hätte noch eine Frage zu a)
Wenn ich dies jetzt auch versuche mit dem 6-Punkte-Satz zu lösen, dann stellt sich mir die Fragen, welche 3 von den 4 möglichen Werten muss/kann ich nehmen damit ich auf die korrekte MT komme?
Also habe ja für die obere Halbebene die Punkte:



und
wobei ich die erste Gleichung auf jeden Fall mitnehmen muss, da sich dies hier ja gerade ändert, aber wie sieht es mit den anderen aus, welche 2 von den 3 muss/kann ich da nehmen?
Oder ist das hierfür der falsche Ansatz?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Aufgabe mit Hilfe des 6-Punkte-Satz gelöst (wenn du den Vorzeichenfehler korrigierst). Genau dieselbe Lösung gibt der Ansatz von Wikipedia.
Es ist dann wie gewünscht . fertig, aus, ende (oder nicht ???).
Jessically Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung mein Fehler, ich war immernoch in Gedanken dabei es als 2 Teilaufgaben auf zu fassen und wollte somit a) nochmal einzeln nachrechnen, was ja vollkommener Quatsch ist, was du ja schon im vorherigen Beitrag mitgeteilt hattest. Jetzt isse endlich klar Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
fertig, aus, ende (oder nicht ???).


Dazu ist mir noch etwas eingefallen. Jede Möbius-Transformation ist kreisverwandt, bildet also Kreise auf Kreise ab (auch Geraden sind Kreise). Unser bildet also den Einheitskreis, der durch geht auf die reelle Gerade ab, die durch geht. Nun könnte es aber sein, dass das Innere des Einheitskreises auf die obere oder untere Halbebene abgebildet wird.

Hinweis: Prüfe, wohin abgebildet wird, liegt in der oberen Halbebene, dann ist die Aufgabe tatsächlich erfüllt. Liegt aber in der unteren Halbebene, dann erfüllt die Möbius-Transformation den Zweck. Merke: Die Orientierung der Punkte und orientiert den Kreis oder die Gerade und legt damit das Innere und Äußere des Kreises und Links und Rechts der Gerade fest.
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