Komplexe Differenzierbarkeit prüfen

03.05.2017, 22:50

forbin

Komplexe Differenzierbarkeit prüfen

Hallo,

es gilt, folgende Funktion auf komplexe Differenzierbarkeit zu untersuchen:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\rightarrow \mathbb C, (x+iy)\mapsto xy+ixy = xy(1+i) \end{eqnarray*}$

Es ist ja $\begin{eqnarray*} x=Re(z) \text{ und } y=Im(z) \end{eqnarray*}$ .

Ich bilde nun für die h-Methode den Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \frac{(x+h)(y+h)(1+i)-xy(1+i)}{h} \end{eqnarray*}$

1. Fall:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }h\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+i) ( (x+h)y-xy)}{h} = \frac{(1+i)hy}{h} = y(1+i)^{\underrightarrow{h\rightarrow 0}} y(1+i) \end{eqnarray*}$

2. Fall:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }h\in i\cdot\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+i) ( (y+h)x-xy)}{h} = \frac{(1+i)hx}{h} = x(1+i)^{\underrightarrow{h\rightarrow 0}} x(1+i) \end{eqnarray*}$

Also berechne ich nun: $\begin{eqnarray*} y(1+i) = x(1+i) \Leftrightarrow y=x \end{eqnarray*}$

Also ist f komplex differenzierbar, wenn Imaginär-und Realteil im Argument übereinstimmen.

Stimmt das so?

05.05.2017, 17:19

Leopold

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Die Berechnung des Differenzenquotienten scheint mir nicht zu stimmen. Auch $\begin{align*} h \end{align*}$ muß beliebig komplex sein:

$\begin{align*} z = x + \operatorname{i}y \, , \ \ h = p + \operatorname{i}q \ \ \text{mit} \ \ x,y,p,q \in \mathbb{R} \end{align*}$

Der Differenzenquotient ist

$\begin{align*} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \frac{qx+py+pq}{p + \operatorname{i}q} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{align*}$

Wenn du nun $\begin{align*} h \end{align*}$ spezialisierst und je nach Spezialisierung zu unterschiedlichen Grenzwerten kommst, weißt du, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ an den betreffenden Stellen nicht differenzierbar ist. Kommst du jedoch zu denselben Grenzwerten, kannst du noch nicht sicher wissen, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ auch differenzierbar ist.

1. Spezialisierung: $\begin{align*} h \in \mathbb{R} \end{align*}$ , das heißt: $\begin{align*} q=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \left( 1 + \operatorname{i} \right) y \end{align*}$

Da der Ausdruck von $\begin{align*} p \end{align*}$ unabhängig ist, ist es auch schon der Grenzwert für $\begin{align*} p \to 0 \end{align*}$ .

2. Spezialisierung: $\begin{align*} h \in \operatorname{i} \mathbb{R} \end{align*}$ , das heißt: $\begin{align*} p=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \left( 1 - \operatorname{i} \right) x \end{align*}$

Auch das ist hier schon der Grenzwert für $\begin{align*} q \to 0 \end{align*}$ .

Wann sind nun diese Grenzwerte gleich? Dafür erhält man die Gleichung

$\begin{align*} \left( 1 + \operatorname{i} \right) y = \left( 1 - \operatorname{i} \right) x \end{align*}$

Ein Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt: $\begin{align*} x=y=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ .

Damit haben wir das folgende Zwischenergebnis: Für alle $\begin{align*} z \neq 0 \end{align*}$ ist $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht differenzierbar.
Wie oben bereits bemerkt, ist jetzt nicht von alleine $\begin{align*} f \end{align*}$ bei $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ differenzierbar. Man muß sich ja mit $\begin{align*} h \end{align*}$ von jeder Richtung an $\begin{align*} 0 \end{align*}$ annähern.

Ist nun $\begin{align*} f \end{align*}$ bei $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ differenzierbar? Was ist gegebenenfalls der Wert der Ableitung?

Hinweis: Wenn du die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen schon kennst, läßt sich die Aufgabe damit schneller lösen.

05.05.2017, 18:14

forbin

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Vielen Dank erstmal.
Ok, die Rechnung sehe ich ein, da habe ich mich im Eingangspost vertan.
Die Folgerung kann ich auch nachvollziehen.
Nun weiß ich nicht, wie ich mich "h von jeder Richtung" nähere unglücklich

Wähle ich dann $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb R\neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

05.05.2017, 18:28

Leopold

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Ja, du darfst eben $\begin{align*} h \end{align*}$ nicht mehr spezialisieren.

Betrachten wir also jetzt $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ . Bei der 1. wie auch der 2. Spezialisierung ergibt sich dann 0 als Grenzwert des Differenzenquotienten. Wenn die Funktion also überhaupt differenzierbar ist, dann muß $\begin{align*} f'(0) = 0 \end{align*}$ sein. Du mußt daher zeigen

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0 \end{align*}$

Um zu zeigen, daß ein komplexer Ausdruck gegen 0 geht, kann man auch zeigen, daß sein Betrag gegen 0 geht. Dann ist man im Reellen. Und man kann versuchen, günstig abzuschätzen:

$\begin{align*} \left| \frac{f(h)}{h} \right| \leq \ldots \leq \ldots \leq \ldots \end{align*}$

Und wenn der letzte Ausdruck der Abschätzung für $\begin{align*} h \to 0 \end{align*}$ gegen 0 geht, dann auch der erste.

05.05.2017, 18:37

forbin

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Das bereitet mir echt Probleme.

Ich betrachte doch nun $\begin{eqnarray*} \lim_{p\rightarrow 0_{q\rightarrow 0}}\frac{pq(1+i)}{p+qi} \end{eqnarray*}$ oder? verwirrt

05.05.2017, 19:00

Leopold

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Ich sagte dir doch: Gehe zum Betrag über.

$\begin{align*} \left| \frac{f(h)}{h} \right| = \left| \frac{pq}{h} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right) \right| = \frac{|p| \cdot |q|}{|h|} \cdot \sqrt{2} \end{align*}$

Jetzt schätze $\begin{align*} |p| \end{align*}$ und $\begin{align*} |q| \end{align*}$ mit Hilfe von $\begin{align*} |h| \end{align*}$ ab. Beachte: $\begin{align*} |h| = \sqrt{p^2 + q^2} \end{align*}$ .

05.05.2017, 19:06

forbin

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Ja, aber leider bin ich daran auch gescheitert.
(Wir dürfen zwar die CR-DGL verwenden, aber ich wollte das Thema von Grund auf verstehen).

OK, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{|f(h)|}{|h|} = \sqrt{2}\frac{|p||q|}{|h|}\leq \sqrt{2}\frac{|h||h|}{|h|} = \sqrt{2}|h| \end{eqnarray*}$ .
Und das geht gegen Null für h gegen Null.

05.05.2017, 19:37

Leopold

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So ist es richtig. Und da ein komplexer Term genau dann gegen 0 strebt, wenn sein Betrag gegen 0 strebt, ist jetzt

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0 \end{align*}$

gezeigt, somit: $\begin{align*} f'(0) = 0 \end{align*}$ . Für alle andern $\begin{align*} z \end{align*}$ ist $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht differenzierbar.

05.05.2017, 20:22

forbin

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Super, damit hast du mir sehr geholfen, vielen Dank dafür!

Nun muss ich aber fragen: Wie hätte ich das gemacht, wenn ich nicht den Betrag betrachtet hätte?

05.05.2017, 20:35

Leopold

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Beim Grenzwertbegriff geht es immer um Annäherung. Annähern tut man sich aber durch Verringern des Abstands. Und der Abstand zweier komplexer Zahlen ist der Betrag ihrer Differenz. Der Betrag ist der Sache also inhärent:

$\begin{align*} z \to w \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z-w \right| \to 0 \end{align*}$

Bei Grenzwerten landest du also schließlich immer beim Betrag. Manchmal merkt man das nicht mehr, weil man fertige Regeln anwendet. Beim Beweis dieser Regeln war aber sicher irgendwo der Betrag im Spiel. Schau einfach einmal deine Vorlesungsunterlagen durch. Dann wirst du das sicher feststellen.

05.05.2017, 20:54

forbin

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Vielen Dank! Freude

05.05.2017, 23:21

forbin

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Um zu sehen, ob es auch mit CR-DGL klappt, habe ich noch zwei Aufgaben:

$\begin{eqnarray*} f(x+iy)=x^{3} + iy^{3} \end{eqnarray*}$

Nun bilde ich also: $\begin{eqnarray*} u(x,y)=x^{3}, v(x,y)=y^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y} = 0 = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$
Das ist immer erfüllt. Gut.

Weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^{2} \text{ und } \frac{\partial v}{\partial y} = 3y^{2} \end{eqnarray*}$

Damit dies erfüllt ist, muss gelten: $\begin{eqnarray*} x=\pm y \end{eqnarray*}$

f ist also holomorph, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} Re(z) = \pm Im(z) \end{eqnarray*}$

Zweite Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x+iy) = (x^{2}+y^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) = (x^{3}+xy^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy \text{ und } -\frac{\partial v}{\partial x} = -2xy\Rightarrow x=0 \text{ oder } y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^{2}+y^{2} = \frac{\partial v}{\partial y}= x^{2}+3y^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Sei oBdA } x=0 \Rightarrow y^{2}=3y^{2} \Leftrightarrow y=0 \end{eqnarray*}$

f ist also differenzierbar in x=y=0.
Da es aber dort nicht in einem Gebiet differenzierbar ist (und auch sonst nirgendwo), ist f nirgendwo holomorph.

06.05.2017, 00:18

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
f ist also holomorph, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} Re(z) = \pm Im(z) \end{eqnarray*}$

Falsch! $\begin{align*} f \end{align*}$ ist zwar komplex differenzierbar auf der Doppelgeraden $\begin{align*} |y|=|x| \end{align*}$ , aber nicht holomorph.
Holomorphie in $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ erfordert Differenzierbarkeit in einer ganzen Umgebung von $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ . Da die beiden Geraden, auf denen $\begin{align*} f \end{align*}$ differenzierbar ist, keine offene Menge bilden, ist $\begin{align*} f \end{align*}$ auch nicht holomorph.

Zitat:

Original von forbin
Zweite Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x+iy) = (x^{2}+y^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) = (x^{3}+xy^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) \end{eqnarray*}$

Die Definitionen widersprechen sich.

06.05.2017, 00:49

forbin

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von forbin
f ist also holomorph, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} Re(z) = \pm Im(z) \end{eqnarray*}$

Ja, da habe ich mich in der Begrifflichkeit geirrt. Sorry.
Stimmt aber die Rechnung und Weg?

Zitat:

Original von forbin
Zweite Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x+iy) = (x^{2}+y^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) = (x^{3}+xy^{2})+i(x^{2}y+y^{3}) \end{eqnarray*}$

Die Definitionen widersprechen sich.

Da habe ich mich wieder verschrieben, ist zu spät Big Laugh

Die Rechnung sollte aber trotzdem stimmen, denn ich habe den Schreibfehler nicht fortgeführt.

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