Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

04.05.2017, 12:43

wauiesfan1

Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Meine Frage:
Klassifiziere entsprechend dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen die folgende Gruppe:
(ZZ_{2} x ZZ_{4})/<(0,1)>

Meine Ideen:
ZZ_{2} = {0,1}
ZZ_{4} = {0,1,2,3}
ZZ_{2} x ZZ_{4} = {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)}
Sei G eine Gruppe, und N ein Normalteiler, dann ist G/N eine Faktorgruppe.
G/N = {aN | a aus G}
(ZZ_{2} x ZZ_{4})/<(0,1)> = {a(0,1) | a aus ZZ_{2} x ZZ_{4} }

WAs könnte ich noch machen? Was ist mit dem klassifizieren genau gemeint, das verstehe ich nicht.

04.05.2017, 12:51

Elvis

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1. Fehler: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wird erzeugt von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .
2. Fehler: Die Gruppen sind additiv zu schreiben, nicht multiplikativ.

04.05.2017, 12:54

wauiesfan1

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Zitat:

Original von Elvis
1. Fehler: N wird erzeugt von (0,1), N ist nicht gleich (0,1).
2. Fehler: Die Gruppen sind additiv zu schreiben, nicht multiplikativ.

Kannst du das bitte genauer erklären, verstehe nicht wie du das meinst.

04.05.2017, 12:58

Elvis

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1. $\begin{eqnarray*} (\{(0,1)\},+) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich keine Gruppe.
2. Sonst müsste $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein multiplikatives Inverses haben mit $\begin{eqnarray*} 0^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ , das klappt nicht.

Du darfst eine Gruppe nicht nur als Menge schreiben, es gehört immer eine Verknüpfung dazu.

04.05.2017, 13:13

wauiesfan1

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1. Habe ich die Angabe genau so hergeschrieben wie ich sie vor mir liegen habe, also die Gruppen nur als Mengen angeschrieben, ohne Verknüpfung
2. Aber wenn man {(0,1),+} als die Restklassen von 2 ansieht, ist es schon eine Gruppe? Denn { ZZ_{2}, + } ist eine Gruppe?

04.05.2017, 13:21

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \{(0,1),+\} \end{eqnarray*}$ ist eine unmögliche Schreibweise. Eine Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,\circ) \end{eqnarray*}$ ist ein Tupel aus einer Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ:G\times G\to G \end{eqnarray*}$ , die den Gruppenaxiomen genügt.

$\begin{eqnarray*} (0,1)\in Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$ kannst du unmöglich modulo 2 sehen, denn $\begin{eqnarray*} 0\in Z_2,1\in Z_4 \end{eqnarray*}$

04.05.2017, 13:25

wauiesfan1

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Ah okey, das verstehe ich jetzt: Freude

Wie soll ich jetzt am besten an diese Aufgabe herangehen? Wie ist diese Aufgabe nun zu lösen? Ich stehe noch immer am Anfang verwirrt

04.05.2017, 13:33

Elvis

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Berechne $\begin{eqnarray*} N=<(0,1)> \end{eqnarray*}$ , berechne $\begin{eqnarray*} ((Z_2\times Z_4)/N,+) \end{eqnarray*}$

04.05.2017, 18:11

wauiesfan1

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Ich habe N berechnet, das ist N = { (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) } = {0} x $\begin{eqnarray*} Z_{4} \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Teil hänge ich noch. Bitte um Hilfe.

04.05.2017, 18:30

Elvis

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Eine Gruppe ist keine Menge, eine Gruppe ist eine Menge mit einer Gruppenoperation.
Der Plural von Baum ist Bäume, der Plural von Baum ist nicht Wald, wer das nicht versteht, sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht. Augenzwinkern

Bitte achte ab sofort und für immer auf eine sinnvolle Schreibweise.
$\begin{eqnarray*} N = (\{ (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) \} ,+)= (\{0\} \times Z_4,+)\cong (Z_4,+) \end{eqnarray*}$

Ab da wird es ganz leicht, denn für einen Normalteiler $\begin{eqnarray*} N\le G \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist die Ordnung der Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ gleich dem Index von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |G/N|=(G:N)=\frac {|G|}{|N|} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem sieht man "mit bloßem Auge", dass die Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} \{(0,0)+N,(1,0)+N\},+)=\{N,(1,0)+N\},+) \end{eqnarray*}$ ist, weil die Elemente der Faktorgruppe die Gruppe zerlegen.
Die Klassifkation einer 2-elementigen abelschen Gruppe überlasse ich dir.

04.05.2017, 19:15

wauiesfan1

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Das Klassifizieren haben wir immer so gemacht:
Beispiel:Ordnung eine Gruppe ist n=12.
Zuerst n in Primzahlen zerlegen: 12 = $\begin{eqnarray*} 2^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} 3^{1} \end{eqnarray*}$ .
Dann Partitionen von den Exponenten: 2=1+1 und 2=2 und 1=1.
Dann die direkten Produkte: $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} Z_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{4} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} Z_{3} \end{eqnarray*}$ . Das sind alle nicht isomorphen Gruppen der Gruppe mit Ordnung 12.

Muss ich das jetzt genau so machen, nur das meine Gruppe, die Ordnung 2 hat?

04.05.2017, 19:47

Elvis

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beachte : das geht genau für abelsche Gruppen

04.05.2017, 19:56

wauiesfan1

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Dann ist das ja soo leicht, denn bei n=2 gibt es nur eine nicht isomorphe Gruppe Hammer

05.05.2017, 09:43

Elvis

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$\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4/Z_4\cong Z_2 \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Diese Übungsaufgabe ist didaktisch hervorragend geeignet, um die Begriffe Gruppe (nicht nur Menge), erzeugte Untergruppe (nicht nur Gruppenelemente), Normalteiler (nicht nur Untergruppe), Faktorgruppe (nicht nur Nebenklassen), Ordnung, Index, Satz von Lagrange, Hauptsatz über endliche (und endlich erzeugte) abelsche Gruppen zu üben. Das Bäumchen $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ am Ende ist völlig uninteressant, wichtig ist der Wald, das ist die Gruppentheorie (oder zumindest ein Einstieg in diese Theorie).

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